Irreduzibel in Q[x] [ÜAB]

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tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduzibel in Q[x] [ÜAB]
Zitat:
Für welche natürlichen n ist irreduzibel in


Für n=1 irreduzibel aus Gradgründen, für n=2, da es keine Nullstellen gibt. Für n>1 ungerade findet man eine ganzzahlige Nullstelle, daher reduzibel. Für gerade n würde ich irreduzibel vermuten, aber kann es nicht begründen.
Nubler Auf diesen Beitrag antworten »

dein polynom hat nur ganzzahlige koeffizienten.

ist das polynom über , ist es aber bereits über reduzibel und is ein ganzzahliger teiler des absolutglieds.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

leider verstehe ich deine Bemerkung nicht. Was teilt das Absolutglied? Und warum zerfallt es für n=4 z.B. nicht in 2 Polynome vom Grad 2?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Für gerade n würde ich irreduzibel vermuten, aber kann es nicht begründen.



...

Wie sieht es denn bei Dir mit den Kreisteilungspolynomen aus? Die könnten hier weiterhelfen.

Gruß,
Reksilat.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Big Laugh Da brauche ich noch die Brain-App.

Also ich sehe noch nicht, wie ich da für beliebiges n eine Aussage bauen kann. Neue Testreihe würde mich vermuten lassen, für n als Zweierpotenz irreduzibel...

Das +/- deutet die Idee an, dass man die Mittelteile so annulieren könnte... Aber was ist der direkte Bezug der mich an Kreisteilungspolynome denken lassen sollte, wenn ich +1 statt -1 sehe?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
Neue Testreihe würde mich vermuten lassen, für n als Zweierpotenz irreduzibel...

Darauf wollte ich hinaus.smile

Beispiel:
Betrachte
Was könnte denn jetzt sein? Was wissen wir darüber?
Augenzwinkern
 
 
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

und das ist irreduzibel. Habe ich aber nur nachgerechnet...



Das könnte man allgemein machen und und damit irreduzibel.

Wenn n nun gerade ist, aber keine Zweierpotenz, so sollte ich versuchen x²+1 abzuspalten?
Merlinius Auf diesen Beitrag antworten »

Mal ne Frage an tigerbine: Studierst Du noch Mathematik? Oder bist Du bereits fertig und willst Dein Wissen in bestimmten Gebieten vertiefen? Hat mich schon länger interessiert, aus welchem Rahmen die Aufgaben entspringen, die Du hier immer postest.
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tigerbine
und das ist irreduzibel. Habe ich aber nur nachgerechnet...

Ja, das lässt sich allgemein recht gut per Induktion machen.

Man weiß aber auch, dass ein irreduzibles Polynom vom Grad 8 ist und bei der oben angegebenen Zerlegung bleibt da eben nur eine Möglichkeit. Auch das lässt sich allgemein so machen.

Zitat:
Wenn n nun gerade ist, aber keine Zweierpotenz, so sollte ich versuchen x²+1 abzuspalten?

Das funktioniert nur, wenn n/2 ungerade ist. Für n=12 oder n=40 etc. muss man was anderes zum Abspalten suchen. Die Grundidee ist aber die gleiche.

@Merlinius: tigerbine versucht nur, weniger frequentierte Bereiche des Boards in der Saure-Gurken-Zeit ein wenig mit Leben aufzufrischen. Die Fragestellungen und die Pläne, wer wann worauf antworten darf, wurden vorher intern penibel festgelegt. Big Laugh
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, die Induktion führe ich nun nicht vor, der Gedanke war mir wichtiger. lahme Ausrede, ja.

Bleiben wir bei dem Fall n gerade, keine Zweierpotenz. Da n>2, läßt es sich als gerade Zahl in der Form 2k darstellen und der Auftrag war nun, eine Fallunterscheidung über k gerade und k ungerade.

Im Falle ungerade betrachte [Idee rein durch Beispiele motiviert]. Es ist dann :



So, mit ... schreibt man ja eigentlich nicht...



Bleibt der Fall: k=2m... Wenn es denn ein Fall ist ... Testreihe. Vielleicht muss man auch hier in Potenzen von 2 vor der ungeraden Zahl denken. Da du die 40 angesprochen hast. 40 = 8*5.



Also . Dann zerfällt es in . Ist das die Idee?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hätte es ja durch Betrachten von gemacht. Alle 2n-ten Einheitswurzeln sind schließlich auch insbesondere n-te Einheitswurzeln, und wenn es noch 2 weitere Teiler von 2n gibt, die nicht in n aufgehen..
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von juffo-wup
... und wenn es noch 2 weitere Teiler von 2n gibt, die nicht in n aufgehen..


kann dir gerade nicht folgen...
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »




Alle irreduziblen Teiler von die nicht Teiler von sind, sind Teiler von nach der Gleichung.
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Also für eine Zweierpotenz bleibt dann:



und damit irreduzibel?
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

eigentlich. Zum Beispiel n=4, dann 2n=8 und und
Also irreduzibel.
Und falls n keine Zweierpotenz ist?
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

2³ ist auch 8. Hab n doppelt belegt... böse

Wenn n keine Zweierpotenz ist, dann müßte man in 2n neben n noch (mind.) einen Teiler finden, der n nicht teilt. Bei einer Geraden Zahl also zum Beispiel eine höhere Potenz von 2. Bei einer ungeraden Zahl die 2 selbst.
juffo-wup Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, darauf wollte ich hinaus. smile
tigerbine Auf diesen Beitrag antworten »

Coole Idee, nach "oben" zu gehen. Die Binomischen Formeln ... Danke. Wink
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