Formel umstellen...

18.04.2011, 07:39

felted

Formel umstellen...

Guten Morgen zusammen,

beim Berechnen einer Aufgabe aus meinem Übungsheft
habe ich die richtige Lösung gefunden. Mein Rechenweg
ist geringfügig anders als in der Lösung.

FG = 4 kN.

Bei der vorgegebenen Lösung kann ich jedoch leider
ein paar Umformungen nicht nachvollziehen.

Ausgang:
$\begin{eqnarray*} -F_B = - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} - \frac{F_B \cdot tan65}{tan40} \end{eqnarray*}$

Dann:
$\begin{eqnarray*} + \frac{F_B \cdot tan65}{tan40} \end{eqnarray*}$

Ergibt bei mir:
$\begin{eqnarray*} F_B(-1+\frac{tan65}{tan40} ) = - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

Im Lösungsheft steht:
$\begin{eqnarray*} -F_B(1-\frac{tan65}{tan40} ) = - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

Frage 1: Ergibt das gleiche, nur ist mir nicht klar, wie das Minus vor FB kommt.

Die Lösung sieht dann bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{\frac{-F_G}{tan40 \cdot cos65} }{\frac{tan65}{tan40}-1} = 7,25 kN \end{eqnarray*}$

In der Lösung rechnen die:

$\begin{eqnarray*} -F_B \cdot(1-\frac{tan65}{tan40} ) = - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

und dann kommt:

$\begin{eqnarray*} \cdot - \frac{1}{(1-\frac{tan65}{tan40} )} \end{eqnarray*}$

Was dies ergibt:

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65 - tan65 \cdot cos65} = 7,25 kN \end{eqnarray*}$

Und das blicke ich gar nicht mehr...
Frage 2: Kann mir das bitte jemand weiter aufschlüsseln?

Grüße und Danke, Felted

18.04.2011, 08:39

klarsoweit

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RE: Formel umstellen...

Zitat:

Original von felted
Frage 1: Ergibt das gleiche, nur ist mir nicht klar, wie das Minus vor FB kommt.

Schreibe: $\begin{eqnarray*} F_B = - F_B \cdot (-1) \end{eqnarray*}$ und ziehe die -1 in die Klammer. Augenzwinkern

Zitat:

Original von felted
Was dies ergibt:

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65 - tan65 \cdot cos65} = 7,25 kN \end{eqnarray*}$

Und das blicke ich gar nicht mehr...
Frage 2: Kann mir das bitte jemand weiter aufschlüsseln?

Da wurde nur der entstehende Klammerausdruck ausmultipliziert. smile

18.04.2011, 12:04

felted

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Zitat:

Schreibe: FB = -FB * (-1) und ziehe die -1 in die Klamme

Hmm...

$\begin{eqnarray*} -F_B = - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} - \frac{F_B \cdot tan65}{tan40} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -F_B + \frac{F_B \cdot tan65}{tan40} = - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

Wie soll das jetzt hier mit *(-1) weitergegen, damit ich auf

$\begin{eqnarray*} -F_B \cdot (1- \frac{ F_B \cdot tan65}{tan40}) = - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

komme?

Ich krieg da kein Rad dran...

18.04.2011, 13:01

felted

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Ok, Frage 1 habe ich verstanden.
Jedern Term mit -1 multiplizieren führt zur gewünschten Darstellung.

$\begin{eqnarray*} F_B \cdot -1 \cdot (-1 \cdot -1 + \frac{tan65}{tan40} \cdot -1 ) \end{eqnarray*}$

Führt zu

$\begin{eqnarray*} -F_B \cdot (1 - \frac{tan65}{tan40}) \end{eqnarray*}$

Grüße und Danke, Felted

18.04.2011, 14:50

felted

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Ok, also das krieg ich nicht gebacken.

Wie kommt man von

$\begin{eqnarray*} (tan40 \cdot cos65) \cdot (1-\frac{tan65}{tan40} ) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} tan40 \cdot cos65 -tan65 \cdot cos65 \end{eqnarray*}$

verwirrt

Grüße, Felted

18.04.2011, 14:55

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Mittels Ausklammern:
$\begin{eqnarray*} (tan40 \cdot cos65) \cdot (1-\frac{tan65}{tan40} ) = \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (tan40 \cdot cos65) \cdot 1 - (tan40 \cdot cos65) \cdot\frac{tan65}{tan40} \end{eqnarray*}$

19.04.2011, 17:02

felted

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Danke erst mal für Eure Hilfe.

Ich fasse mal kurz zusammen.

Ausgangsgleichung:
$\begin{eqnarray*} -F_B = - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} - \frac{F_B \cdot tan65}{tan40} \end{eqnarray*}$

Zuerst bringt man alles was mit FB zu tun hat auf eine Seite:

$\begin{eqnarray*} -F_B + \frac{F_B \cdot tan65}{tan40}= - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

Man kann die Gleichung auch so schreiben:

$\begin{eqnarray*} (-F_B \cdot 1) + (F_B \cdot \frac{tan65}{tan40})= - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

Dann wird jeder Wert im zweiten Term mit -1 multipliziert, damit man dann -FB ausklammern kann:

$\begin{eqnarray*} (-F_B \cdot 1) + (F_B \cdot -1 \cdot \frac{tan65}{tan40} \cdot -1)= - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (-F_B \cdot 1) + (-F_B \cdot - \frac{tan65}{tan40})= - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

Ausgeklammert sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} -F_B \cdot (1 - \frac{tan65}{tan40})= - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

Jetzt bringen wir FB auf eine Seite indem wir durch den Multiplikant teilen.
Besser noch, wir multiplizieren mit dem Kehrwert (dann haben wir keinen Doppelbruch)
und setzen gleich noch ein minus davor. Dadurch wird -FB zu FB und -FG zu FG.

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{-F_G}{tan40 \cdot cos65} \cdot - \frac{1}{1- \frac{tan65}{tan40}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{F_G}{(tan40 \cdot cos65) \cdot (1- \frac{tan65}{tan40})} \end{eqnarray*}$

Nun könne wir wir den Nenner mit ausmultiplizieren vereinfachen

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{F_G}{(tan40 \cdot cos65 \cdot 1) - tan40 \cdot cos65 \cdot (\frac{tan65}{tan40})} \end{eqnarray*}$

Dies kann man auch so schreiben

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{F_G}{(tan40 \cdot cos65 \cdot 1) - (\frac{tan40 \cdot cos65 \cdot tan65}{tan40})} \end{eqnarray*}$

tan40 kürzt sich auf der rechten Seite im Nenner raus. Somit bleibt:

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{F_G}{(tan40 \cdot cos65 - cos65 \cdot tan65 )} \end{eqnarray*}$

Und das können wir mit Hilf von ausklammern noch einmal vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} F_B = \frac{F_G}{cos65 ( tan40 - tan65 )} \end{eqnarray*}$

Hoffentlich habe ich keine Fehler reingebaut.
Vielleicht hilft diese ausführliche Version all denen, die in Mathe nicht so fit sind.
Und ich kann mir das auch immer wieder anschauen, wenn ich vergessen habe wie das nochmal ging smile

Danke für Eure Hilfe

PS:

Zitat:

Mittels Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} (tan40 \cdot cos65) \cdot (1-\frac{tan65}{tan40} ) \end{eqnarray*}$
Ist das nicht ausmultiplizieren?

20.04.2011, 08:40

klarsoweit

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Insgesamt ok, wenn man mal davon absieht, daß an den Stellen, wo "mal" auf "minus" trifft, Klammern fehlen. Außerdem kannst du dir das Vorzeichen-Gedaddel sparen, wenn du an dieser Stelle

Zitat:

Original von felted
Zuerst bringt man alles was mit FB zu tun hat auf eine Seite:

$\begin{eqnarray*} -F_B + \frac{F_B \cdot tan65}{tan40}= - \frac{F_G}{tan40 \cdot cos65} \end{eqnarray*}$

die Gleichung einfach mal mit -1 multiplizierst.

Zitat:

Original von felted
PS:

Zitat:

Mittels Ausklammern:

$\begin{eqnarray*} (tan40 \cdot cos65) \cdot (1-\frac{tan65}{tan40} ) \end{eqnarray*}$
Ist das nicht ausmultiplizieren?

Ja.

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