Trigonometrische Gleichung lösen

18.04.2011, 10:53

Fuffl

Trigonometrische Gleichung lösen

Meine Frage:
Hallihallo,

unsere Prof. hat uns diese Aufgabe zum Lösen gegeben:

$\begin{eqnarray*} tan x - sin x = 2sin² \frac{x}{2} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
nach Umwandlung von tan x zu $\begin{eqnarray*} \frac{sin x}{\sqrt{1 - sin² x} } \end{eqnarray*}$ und anschließender Substitution von sin x = z komme ich schließlich zur Lösung 0. Daraus folgt x = 180. Wenn ich das Ergebnis jedoch in die Ausgangsgleichung einsetze, geht die Gleichung nicht auf.

Kann mir bitte bitte jemand auf die Sprünge helfen? Ich verzweifle noch Augenzwinkern

18.04.2011, 11:20

René Gruber

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Zitat:

Original von Fuffl
nach Umwandlung von tan x zu $\begin{eqnarray*} \frac{sin x}{\sqrt{1 - sin² x} } \end{eqnarray*}$

Ich versuche dieses Wurzelzeug nach Möglichkeit zu vermeiden, denn das macht eine Fallunterscheidung (die du z.B. nicht berücksichtigt hast) notwendig, deswegen bevorzuge ich hier folgende Alternative: Es ist

$\begin{eqnarray*} \tan(x)-\sin(x) = \tan(x)(1-\cos(x)) = 2\tan(x)\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \end{eqnarray*}$ ,

letzteres nach Additionstheorem. Damit lässt sich deine Gleichung äquivalent umformen zu

$\begin{eqnarray*} 2(\tan(x)-1)\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) = 0 \end{eqnarray*}$ ,

deren Lösungen sich quasi direkt ablesen lässt.

18.04.2011, 11:22

chris95

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RE: Trigonometrische Gleichung lösen

Zitat:

Original von Fuffl
Daraus folgt x = 180.

Das ist falsch!

1. Rechne in Bogenmaß
2. Du darfst andere Lösungen nicht vergessen.

18.04.2011, 11:48

Fuffl

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Danke für die schnellen Antworten smile

@ René

nach Bogenmaß kommen dann 2Pi oder 360° raus!?

Ich habe jetzt nur probiert, habe aber trotzdem keine Ahnung, wie ich zu deinen Umformungen komme. Mein Tafelwerk enthält da nur eine kleine Auswahl...

Und selbst nach Umformung weiß ich nicht wie ich deine Gleichung auflösen soll. Ich "sehe" die Lösung jedenfalls nicht unglücklich

@ chris

dann wäre es nach Bogenmaß Pi... Meinst du mit anderen Lösungen z. B. Pi + k etc.?

18.04.2011, 11:51

René Gruber

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Zitat:

Original von Fuffl
Und selbst nach Umformung weiß ich nicht wie ich deine Gleichung auflösen soll.

Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der Faktoren Null ist - sollte bekannt sein! Und die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} \tan(x)-1=0 \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} \sin\left(\frac{x}{2}\right)=0 \end{eqnarray*}$ zu ermitteln, ist trigonometrisches Grundwissen aus der Schulzeit.

18.04.2011, 12:15

Fuffl

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bei unserem Abi standen trigonometrische Funktionen leider nicht auf dem Lehrplan. Und nun schmeißen sie einen an der Uni in kaltes Wasser traurig

Klar wird ein Produkt 0, wenn ein Faktor 0 ist, aber bei dieser Art von Funktionen ist das alles ein bissl verwirrend.

Ich werd nochmal drüber nachdenken Augenzwinkern

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