quadratische gleichung nullstellen

18.04.2011, 12:18

Magnus87

quadratische gleichung nullstellen

hallo liebe mathematiker

sagt mal man setzt bei der pq-Formel bekanntlich ja 0

aber warum tut man dies?
es funktioniert, aber warum??

mfg

18.04.2011, 12:31

Mazze

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Die PQ-Formel ist eine Formel um Nullstellen von quadratischen Polynomen zu bestimmen. Und eine Nullstelle zeichnet sich nunmal daudurch aus, dass der Funktionswert an der entsprechenden Stelle = 0 ist.

18.04.2011, 12:34

lgrizu

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RE: quadratische gleichung nullstellen
pq-Formel kann recht einfach hergeleitet werden, ihr werdet die in der Schule doch nicht einfach so vorgesetzt bekommen haben....

normiertes quadratisches Polynom:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Quadratische Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=0 \end{eqnarray*}$

Binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2} \right)^2=-q+\frac{p^2}{4} \end{eqnarray*}$

Wurzel ziehen:

$\begin{eqnarray*} x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{-q+\frac{p^2}{4}} \end{eqnarray*}$

Also:

$\begin{eqnarray*} x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{-q+\frac{p^2}{4}} \end{eqnarray*}$

18.04.2011, 14:11

Mqyr

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RE: quadratische gleichung nullstellen

Zitat:

Original von lgrizu
pq-Formel kann recht einfach hergeleitet werden, ihr werdet die in der Schule doch nicht einfach so vorgesetzt bekommen haben....

Ich kann zwar nur von mir sprechen, aber uns wurde nach der quadratischen Ergänzung gesgat, es gäbe dafür eine Formel und schrieb er die pq-Formel an und voila, da war sie.

18.04.2011, 14:13

lgrizu

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RE: quadratische gleichung nullstellen
Und das ist das, was ich oben auch gemacht habe.

19.04.2011, 10:47

Magnus87

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RE: quadratische gleichung nullstellen
ok noch eine doofe frage.... warum bestimme ich ausgerechnet die nullstellen??

19.04.2011, 11:02

lgrizu

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RE: quadratische gleichung nullstellen
Man bestimmt bei Funktionen erst einmal "markante" Stellen, das sind Extremstellen, Wendestellen und Nullstellen.

Man kann so etwas über den Verlauf der Funktion aussagen ohne eine Ellenlange Wertetabelle zu erstellen.

19.04.2011, 11:49

Magnus87

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RE: quadratische gleichung nullstellen
achso
wie einen menschen in einer menschenmenge beschreiben...
der mit der besonders großen Nase... ah der smile

--> erkannt

20.04.2011, 10:00

lgrizu

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RE: quadratische gleichung nullstellen
Naja, etwas weit hergeholt, aber so ungefähr.

06.09.2011, 21:13

Magnus87

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RE: quadratische gleichung nullstellen
was sind denn markkante stellen bei solchen Funktionen und warum??

und wie definiere ich diese dann??

07.09.2011, 00:02

lgrizu

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RE: quadratische gleichung nullstellen
Markante Stellen sind zum Beispiel Nullstellen und Extremstellen. Die zweite Frage verstehe ich allerdings nicht.

07.09.2011, 15:39

Magnus87

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RE: quadratische gleichung nullstellen
nullstellen, also da wo x = 0 ist und y= 0 oder ...

extremstellen??

07.09.2011, 15:40

Magnus87

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RE: quadratische gleichung nullstellen
wie wird denn dieser schritt durchgeführt das verstehe ich gerade nicht... wo kommt die 4 her??

Quadratische Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=0 \end{eqnarray*}$

mfg

07.09.2011, 15:42

Cheftheoretiker

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RE: quadratische gleichung nullstellen
Hi,

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{4} \end{eqnarray*}$

Wink

07.09.2011, 16:03

Magnus87

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RE: quadratische gleichung nullstellen
wie jetzt... also die teilen dann einfach durch 2 ?? aus welchem grund? sorry unglücklich

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{p}{2}\right)^2=\frac{p^2}{4} \end{eqnarray*}$

07.09.2011, 16:52

lgrizu

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RE: quadratische gleichung nullstellen
Es wird quadriert: $\begin{eqnarray*} \left( \frac{p}{2} \right)^2=\frac{p^2}{2^2} \end{eqnarray*}$

07.09.2011, 17:10

Magnus87

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RE: quadratische gleichung nullstellen
normiertes quadratisches Polynom:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$

Quadratische Ergänzung:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+\frac{p^2}{4}-\frac{p^2}{4}+q=0 \end{eqnarray*}$

diesen schritt verstehe ich nicht wo kommt das geteilt durch 2 zum quadrat her?? und warum??

spezielle jz auch bezogen auf das teilen

07.09.2011, 22:30

lgrizu

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RE: quadratische gleichung nullstellen
Das ist die Ergänzung, man möchte schließlich eine binomische Formel erzeugen.

08.09.2011, 11:41

Magnus87

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RE: quadratische gleichung nullstellen
kann es sein, dass der
Binomial-Koeffizient eine rolle spielt??

denn es ist
der Faktor 2 (entsteht im mittleren Glied des rechten Ausdrucks beim ausmultiplizieren).

und man kehrt den ausdruck quasi um indem man durch 2 teilt??

mfg (und danke soweit)

08.09.2011, 12:25

lgrizu

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RE: quadratische gleichung nullstellen
Okay, noch mal von vorne:

Wir haben den Ausdruck $\begin{eqnarray*} x^2+px+q \end{eqnarray*}$ . Nun möchten wir eine binomische Formel erzeugen.

Diese ist $\begin{eqnarray*} (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \end{eqnarray*}$ .

Wir setzen a=x und erhalten dadurch p=2b, also $\begin{eqnarray*} b=\frac{p}{2} \end{eqnarray*}$ .

Uns fehlt noch das b², also $\begin{eqnarray*} b^2=\left( \frac{p}{2} \right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Das addieren wir, weil wir das aber nicht ohne weiteres dürfen müssen wir es wieder abziehen, denn es ist $\begin{eqnarray*} \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2=0 \end{eqnarray*}$ und 0 addieren dürfen wir immer.

Wir erhalten also:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=x^2+px+ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2+q \end{eqnarray*}$

Nun haben wir unsere binomische Formel:

$\begin{eqnarray*} x^2+px+ \left( \frac{p}{2} \right)^2 - \left( \frac{p}{2} \right)^2+q=\left(x+\frac{p}{2} \right)^2- \left( \frac{p}{2} \right)^2+q \end{eqnarray*}$

Dieser Ausdruck ist zum Beispiel zur Nullstellenberechnung von Vorteil:

$\begin{eqnarray*} \left(x+\frac{p}{2} \right)^2- \left( \frac{p}{2} \right)^2+q=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \left(x+\frac{p}{2} \right)^2= \left( \frac{p}{2} \right)^2-q \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x+\frac{p}{2}=\pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2-q} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left( \frac{p}{2} \right)^2-q} \end{eqnarray*}$

Und nun sehen wir, dass auf der rechten Seite die pq-Formel steht.

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