N als Teilmenge von R und die Archimedische Eigenschaft (Übungsbeispiele)

18.04.2011, 17:34

crysis

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N als Teilmenge von R und die Archimedische Eigenschaft (Übungsbeispiele)

Meine Frage:
Ich hab ein paar Probleme die Übungsaufgaben zu lösen, da mir nicht genau klar ist, wie ich das Geforderte zeigen kann.

1.)
Zeigen Sie:
$\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \exists !n\in Z:n\leq x<n+1 \end{eqnarray*}$

2.)
Definition:
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ heiße unendlich groß wenn gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x>n \end{eqnarray*}$
Gibt es unendlich große reelle Zahlen?

Meine Ideen:
Für 1. habe ich echt keinen Plan wie ich an die Sache rangehen soll. Mir ist klar dass n die größte ganze Zahl ist, die in x enthalten ist, aber nicht wie ich weitermache.

Bei 2. ist klar, dass es eine solche Zahl x nicht geben kann, da die Menge der natürlichen Zahlen ja eine unendliche Menge ist. Nur wie zeige ich das jetzt?

18.04.2011, 17:54

Airblader

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RE: N als Teilmenge von R und die Archimedische Eigenschaft (Übungsbeispiele)

Zitat:

Original von crysis
Bei 2. ist klar, dass es eine solche Zahl x nicht geben kann, da die Menge der natürlichen Zahlen ja eine unendliche Menge ist.

Das ist kein zwingendes Argument. Mit der Tatsache, dass IN eine unendliche Menge ist, hat das nichts zu tun. Tipp: Versuche für diese Aufgabe doch mal die Eigenschaft aus 1. zu verwenden!

Und was 1. angeht: Was dürft ihr denn verwenden an Axiomen?

air

18.04.2011, 19:11

crysis

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RE: N als Teilmenge von R und die Archimedische Eigenschaft (Übungsbeispiele)
Ah, ok, dann müsste ich also nur 1. zeigen und kann dann für 2. einfach darauf verweisen das 1. gilt?

Also mit Sicherheit darf ich die Peano Axiome verwenden, die kommen jedenfalls direkt im Kapitel vor. Und ich denke auch die Körperaxiome für R.

18.04.2011, 19:49

crysis

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RE: N als Teilmenge von R und die Archimedische Eigenschaft (Übungsbeispiele)
Und die archimedische Eigenschaft darf auch verwendet werden

19.04.2011, 02:18

Airblader

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RE: N als Teilmenge von R und die Archimedische Eigenschaft (Übungsbeispiele)

Zitat:

Original von crysis
Ah, ok, dann müsste ich also nur 1. zeigen und kann dann für 2. einfach darauf verweisen das 1. gilt?

Na, so einfach darfst du es dir nicht machen. Du musst schon sagen, warum das aus 1. folgt.

Und zu 1.: Zeige erstmal, dass es für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ zwei Zahlen $\begin{eqnarray*} n,m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} -n < x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x < m \end{eqnarray*}$ ist.

air

19.04.2011, 10:52

crysis

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RE: N als Teilmenge von R und die Archimedische Eigenschaft (Übungsbeispiele)
Genau da liegt ja mein Problem, ich weiß nicht wie ich das zeigen soll. Ich steh irgendwie total aufm Schlauch.

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19.04.2011, 11:55

Airblader

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Wie lautet denn die archimedische Eigenschaft? Um diesen Teilschritt zu zeigen brauchst du im Grunde nämlich nur die.

air

19.04.2011, 12:34

crysis

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Seien $\begin{eqnarray*} x, y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit x > 0. Dann existiert $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sodass nx > y gilt.

Also nx>y, wobei nx dem m des Teilschrits entspricht
und -nx<y, welches dem -n entspricht?

Und wenn ich jetzt y durch x ersetze erhalte ich
m>x und -n<x
Richtig?

Und wie zeige ich jetzt dass es ein n aus den ganzen Zahlen gibt sodass n<=x<n+1?

19.04.2011, 12:38

Airblader

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Um die archimedische Eigenschaft anwenden zu können musst du schon ganz genau sagen, auf welche Zahlen du sie anwendest.

Ich formuliere die Eigenschaft mal minimal um (sonst musst du bei den Variablennamen viel umdenken):

Seien $\begin{eqnarray*} x,y \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y > 0 \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} ny > x \end{eqnarray*}$ .

Wir wollen nun zeigen, dass es für jede Zahl $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} n > x \end{eqnarray*}$ ist. Wie müssen wir dazu $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ wählen, um dies aus der archimedischen Eigenschaft folgern zu können? Denk daran, dass wir y wirklich wählen dürfen, wie immer wir wollen.

air

19.04.2011, 12:50

crysis

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Achso, ich wähle also y=1?

19.04.2011, 13:14

Airblader

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Genau

Freude

Jetzt brauchen wir noch die Existenz von $\begin{eqnarray*} -m < x \end{eqnarray*}$ . Bedenke, dass wir uns auf $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ beschränken können, da für $\begin{eqnarray*} x > 0 \end{eqnarray*}$ z.B. $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$ immer funktioniert.

Sei also $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ . Jetzt nutze Archimedes, um die Existenz eines $\begin{eqnarray*} -m < x \end{eqnarray*}$ zu bekommen.

/edit: Übrigens bitte jmd übernehmen. Ich bin gleich eine ganze Weile weg. Wink

Wink

air

19.04.2011, 20:44

crysis

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Hm...

Also fang ich wieder an mit
my>x und y=1
Dann wäre
m>x; Sprich es gibt zu jedem $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

Kann ich jetzt daraus einfach folgen dass es für jedes $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt sodass -m<x
Das Argument der Archimedischen Eigenschaft ist ja, dass es zu jeder reellen Zahl eine natürliche gibt, die größer ist. Also müsste auch gelten dasss es zu jeder reelen Zahl eine natürliche gibt, die mit dem Vorzeichen - versehen, kleiner ist.

Reicht dies aus? Wie gehe ich weiter vor?

19.04.2011, 20:56

Airblader

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Nein, du darfst nicht "einfach folgern". Ich hatte eigentlich gehofft, inzwischen sollte klar sein, dass du jeden Schritt zu begründen hast.

Für $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ darfst du die archimedische Eigenschaft noch nichtmal anwenden. Also nochmal darüber nachdenken, wie du daraus eine Zahl bekommst, auf die du sie anwenden kannst.

air

19.04.2011, 21:03

crysis

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Darf ich die arch. Eigenschaft mit -1 multipliziern bzw. bringt mich das weiter?

19.04.2011, 21:13

Airblader

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Die Idee ist nicht ganz schlecht. Ist $\begin{eqnarray*} x < 0 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} -x > 0 \end{eqnarray*}$ . Darauf kannst du nun Archimedes loslassen.

air

19.04.2011, 21:28

crysis

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Also unter der Vorausetzung dass x<0 ist, setze ich -x ein und erhalte m>-x, also ist -m<x?

19.04.2011, 21:40

Airblader

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Genau!
Die jeweils anderen Fälle sind mit $\begin{eqnarray*} n,m=1 \end{eqnarray*}$ hoffentich offensichtlich.

Damit haben wir für jedes $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ die Existenz von natürlichen Zahlen n, m mit $\begin{eqnarray*} -m < x < n \end{eqnarray*}$ . Daraus machen wollen wir die eindeutige Existenz einer ganzen Zahl k mit $\begin{eqnarray*} k \leq x < k+1 \end{eqnarray*}$ . Da bist du erstmal wieder dran.

air

19.04.2011, 22:22

crysis

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Nur leider weiß ich nicht wie ich da jetzt weitermache. Mein "mathematischer Sinn" ist leider nocht nicht sehr ausgeprägt, hoffe das kommt noch.

-m<x<n kann ich umformen zu -m-x<0<n-x oder x+m>0>x-n, bringt nur nix.
Ich bin leider auf weitere Hinweise angewiesen

19.04.2011, 22:55

Airblader

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Es gibt also Zahlen k mit k < x. Die Menge dieser Zahlen ist nach oben beschränkt. Also gibt es ein Supremum, ..

air

19.04.2011, 23:26

crysis

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Ok.
Und die Zahlen "k+1" mit x<k+1. Diese Menge wäre nach unten beschränkt, aber kein Infinum da x nicht enthalten ist.
k:=] $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ,x]
"k+1":=]x, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ]
Bringt mich das weiter?

19.04.2011, 23:28

Airblader

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Wenn du weißt, dass es ein größtes k mit k <= x gibt, kannst du als rechte Grenze einfach k+1 nehmen (bedenke, dass k eine feste Zahl ist!). Zu zeigen ist, dass dann wirklich x < k+1 gilt und dass k dadurch eindeutig bestimmt ist.

air

19.04.2011, 23:38

crysis

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Als rechte Grenze wovon?

Soll ich also k = ] $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ,k+1[ <=x schreiben?
Also ist k mit k+1 nach oben beschränkt, aber k+1 ist nicht in der Menge enthalten, dh k+1>x?

20.04.2011, 00:01

Airblader

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Zitat:

Original von crysis
Soll ich also k = ] $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ ,k+1[ <=x schreiben?
Also ist k mit k+1 nach oben beschränkt, aber k+1 ist nicht in der Menge enthalten, dh k+1>x?

Das reicht von "keine Ahnung was du mir sagen willst" bis "einfach falsch". k ist z.B. kein Intervall, sondern eine Zahl. Und eine Zahl kann auch nicht beschränkt sein. Und vom Rest weiß ich nicht, was du mir sagen willst.

Mit "rechte Grenze" meinte ist k < x < *das was hier steht*. k ist doch das Supremum aller ganzen Zahlen, die kleiner als x sind. Damit haben wir einen Kandidaten. Zeige nun, dass x < k+1 auch erfüllt ist und zeige, dass dieses k eindeutig ist.

air

20.04.2011, 00:18

crysis

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Meine Überlegung um k+1 zu zeigen:
Die (Teil-)Menge der Ganzen Zahlen mit dem Supremum k ist kleiner/gleich x. k+1 ist größer als das Supremum, kann daher nicht in der (Teil-)Menge der Ganzen Zahlen sein, die kleiner/gleich x sind, sondern muss daher größer sein.

Für die eindeutigkeit hatte ich folgende Überlegung:
Angenommen es gibt mehr als eine Zahl die, die Ungleichung erfüllt, ich nenne sie l.
Also es gelten
k<=x<k+1 und
l<=x<l+1
Für l ist ungleich k, also l<k oder l>k würde die Ungleichung nicht mehr erfüllt werden, da ich mich in der Menge der ganzen Zahlen bewege.
Fall1:
l<k: dann wäre l zumindest um 1 kleiner als k, also könnte l+1 nicht größer als x sein da l+1 höchstens k ist, was ja kleiner gleich x ist.
Fall2:
l>k: dann wäre l zumindes um 1 größer als k, also könnte l nicht kleiner gleich x sein, da l mindestens k+1 ist, was ja größer als x ist.
Also muss l gleich k sein, dh. es gibt nur eine solche Zahl die die Ungleichung erfüllt.

20.04.2011, 00:28

Airblader

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Die Eindeutigkeit ist okay. Beim ersten Teil würde ich das mit einem Widerspruchargument deutlicher formulieren: Wäre k+1 nicht größer als x, dann müsste es kleiner oder gleich x sein. Da k und k+1 aber verschiedene Zahlen sind steht dies im Widerspruch dazu, dass k das Supremum der Zahlen kleiner/gleich x ist.

air

20.04.2011, 09:22

crysis

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Ok, dann hättn wir 1.

Für 2. hab ich mir gedacht, eine Beschränktheit zu nutzen.

Eine Zahl heiße unendlich groß wenn gilt x>n für alle natürlichen n ist
Gibt es unendlich große reelle Zahlen?

Angenommen x wäre die obere Schranke. dann Gäbe es eine größte natürliche Zahl, ich nenne sie m, und m=x-c; c>0, da m kleiner x, und c<=1, da es ansonsten eine natürliche Zahl gäbe, die näher bei x liegt.
Eines der Peanno-Axiome besagt, dass es für jede Zahl genau einen Nachfolger gibt, also gibt es auch m+1 in den natürlichen Zahlen.
m+1=x-c+1>=x, das steht im Widerspruch zu n<x, also gibt es keine unendlich große Zahl.

20.04.2011, 10:22

Airblader

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Zitat:

Original von crysis
c<=1

Wenn, dann c < 1.

Prinzipiell ist die Idee richtig. Ich komm nur nicht darauf, warum du dich jetzt kategorisch geweigert hast, meinen anfänglichen Tipp anzunehmen und die erste Aussage, du du eben bewiesen hattest, zu verwenden. Dass x > n für alle natürlichen Zahlen im direkten Widerspruch zur Existenz eines n mit x < n+1 steht sollte doch viel einfacher sein als nochmal neu anzufangen.

air

20.04.2011, 13:33

crysis

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Na gut, dann fasse ich mal zusammen:

1.)
Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \exists !n\in Z:n\leq x<n+1 \end{eqnarray*}$ gilt

-Schritt(a): Ich zeige dass es $\begin{eqnarray*} m,n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, sodass -m<x<n gilt
Dazu verwende ich die Archimedische Eigenschaft:
$\begin{eqnarray*} \forall x,y>0\in \mathbb R \exists n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} ny>x \end{eqnarray*}$
n>x
Fall x>0 Ich wähle y=1 und erhalte so n>x, es gibt ein solches n
Fall x<0 stimmt immer, da n>0, zB n=1
-m<x
Fall x>0 stimmt immer, da -m<0, zB m=1; -m=-1
Fall x<0: Für archimedische Eigenschaft muss x>0 sein, daher gilt my>-x, y ist wieder 1, multipliziert mit -1 ergibt das -m<x

-Schritt(b): Ich zeige, dass k<=x<k+1 gilt
k, ist die größte Ganze Zahl, die kleiner gleich x ist, sprich k ist Supremum der Ganzen Zahlen, die kleiner gleich x sind.
Angenommen k+1>x gilt nicht, dann müsste k+1<=x gelten. Da k und k+1 unterschiedliche Zahlen und k+1 größer als k ist, entsteht ein Widerspruch zu k als Supremum, die Annahme ist also falsch.

-Schritt(c): Ich zeige die Eindeutigkeit dieses k:
k,l aus den Ganzen Zahlen erfüllen die Ungleichung. Sprich
k<=x<k+1 und l<=x<l+1
Annahme: k<l oder k>l
Dann unterscheiden sich k und l um mindestens 1, da es Ganze Zahlen sind
für k<l gilt k<=x<k+1<=l<=x<l+1, ein Widerspruch für x
für k>l gilt l<=x<l+1<=k<=x<k+1, ein Widerspruch für x
Die Annahme ist falsch, also muss k=l sein

2.)
Definition:
Eine Zahl $\begin{eqnarray*} x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ heiße unendlich groß wenn gilt für alle $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} x>n \end{eqnarray*}$
Gibt es unendlich große reelle Zahlen?

Angenommen es gibt $\begin{eqnarray*} \exists x\in \mathbb R \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} \forall n\in \mathbb N x>n \end{eqnarray*}$ erfüllen.
In 1.) wurde bewiesen dass $\begin{eqnarray*} \forall x\in \mathbb R \exists !n\in Z:n\leq x<n+1 \end{eqnarray*}$ gilt. Da n+1 Nachfolger der natürlichen Zahl n ist, ist auch diese Zahl (siehe Peanno-Axiome) in den natürlichen enthalten. x>n für alle n steht im Widerspruch zu x<n+1. Richtig so?

20.04.2011, 18:19

Airblader

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Jap.

Freude

air

20.04.2011, 18:32

crysis

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Dankeschön, ich weiß es war mühsam, aber ich steh halt noch am Anfang Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2011, 18:43

Airblader

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So geht es jedem. Augenzwinkern

Augenzwinkern

air

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