Torus

18.04.2011, 17:46	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Torus Meine Frage: Ich habe noch eine Rotationsfläche zu berechnen: Seien $\begin{eqnarray} r, R \end{eqnarray}$ reelle Zahlen mit $\begin{eqnarray} 0<r<R \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} K:=\left\{(x,y,z)\in \mathbb R^3 : (x-R)^2+z^2=r^2, y=0\right\} \end{eqnarray}$ sei die Kreislinie. Durch Rotation von K um die z-Achse entsteht ein Torus $\begin{eqnarray} T\subseteq \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Berechnen Sie seine Fläche. Ich suche eine geeignete Parametrisierung, mit der ich Maßtensor und Gram'sche Determinante berechnen kann um darüber dann das Integral zu bilden. Meine Ideen: Eine mögliche Umrechunung in kartesische (dreidimensionale) Koordinaten ist: $\begin{eqnarray} \phi(t,p)=\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (R+r\cos(p))\cos(t) \\ (R+r\cos(p))\sin(t) \\ r\sin(p) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Kann ich das hier nehmen? Edit: Da mir bisher niemand geantwortet hat und ich an mehreren Stellen gelesen habe, dass man einen Torus so parametrisieren kann, habe ich das einfach mal ausgerechnet und komme für den Maßtensor, das Oberflächelement und letztendlich für die Oberfläche auf: $\begin{eqnarray} (g_{ij}(t,p))=\begin{pmatrix} (\cos(p)\cdot r+R)^2 & 0 \\ 0 & r^2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sqrt{g(t,p)}=\sqrt{r^2\cdot (\cos(p) \cdot r+R)^2}=r\cdot (r\cdot \cos(p)+R) dpdt \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{t=0}^{2\pi} \int_{p=0}^{2\pi} \sqrt{g(t,p)} dp dt=4\pi^2\cdot R\cdot r \end{eqnarray}$ . Soweit habe ich die Aufgabe also wohl gelöst. Ich "warte" jetzt nur noch auf ein Okay, dass man die Parametrisierung hier so anwenden kann, wie ichs gemacht habe. Beim Stichwort "Torus" benutzt man doch eigentlich immer die gleiche Parametrisierung. Ebenso, wie man beim Stichwort "Rotationsellipsoid" auf die Parametrisierung durch verallgemeinerte Kugelkoordinaten zurückgreift: Sehe ich das so richtig - oder muss man diese Parametrisierungen immer noch speziell anpassen? [Das heißt: Hätte ich für diesen speziellen Torus eine andere Parametrisierung wählen müssen oder ist es letztlich egal, wie der Torus ausgedrückt ist und man kommt in der Regel immer auf die obige Parametrisierung zurück?]
20.04.2011, 09:18	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein man kommt sicher nicht immer auf dieselbe Parametrisierung zurück - zumindest nicht wenn man das Koordinatensystem vorgegeben hat. Zb kann der Torus auch "schräg" liegen und dann braucht es eine andere Parametrisierung. Dass diese Parametrisierung eine Karte für deinen Torus ist musst du schon nachrechnen bzw begründen.
20.04.2011, 10:26	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich - wie hier - so eine Menge K vorgegeben habe, wie kontrolliere ich dann, dass die Karte auch wirklich eine Karte ist? Allgemein guckt man ja einfach, ob die Homöomorphismuseigenschaften gelten - aber wie macht man das hier ganz konkret?
20.04.2011, 10:38	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich würde versuchen über die Parametrisierung einer Rotationsfläche zu argumentieren, denn die direkte Nachrechnung der Homöomorphismuseigenschaft dürfte ziemlich unangenehm werden. Dazu würde ich versuche den Kreis in der x-z-Ebene in zwei Graphen zu unterteilen. Aber ich habe das nicht überprüft ob das angenehm zu tun ist.
20.04.2011, 10:46	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst Du mir denn sagen, ob die Karte, die ich gewählt habe, hier eine Karte ist? [Wenn ich mir schon diese Arbeit mache, wäre es schön zu wissen, dass wenigstens dabei heraus kommt, dass meine Vorarbeit okay ist.]
20.04.2011, 11:20	system-agent	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, es ist die richtige Parametrisierung; klick.
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20.04.2011, 11:27	Gast11022013	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, beruhigend zu wissen! Ich werde mich mal daran machen und versuchen, das auch zu beweisen. Ich habe zwar so meine Zweifel, dass ich das hinbekomme, aber Versuch macht klug.

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