suche den letzten eigenvektor ...

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06.12.2006, 00:16	kurze frage	Auf diesen Beitrag antworten »
suche den letzten eigenvektor ... hallo kurze frage. hab ne matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 0 &1 \\ 0& 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und dazu will ich jetzt die eigenvekroten bestimmen. Also die Eigenwerte sind: $\begin{eqnarray} \lambda_1=3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda_{2,3}=2 \end{eqnarray}$ Nun hab ich zum ersten eigenwert den eigenvekrot bestimmt: $\begin{eqnarray} \lambda_1=3 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda_{2,3}=2 \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und jetzt komm ich nicht weiter ich weiss einfach nicht wie ich auf den dritten komme. Ihr würdet mir wirhlich helfen wenn mir jemand sagen könnte ob das so richtig ist was ich raushabe und was wie man den drtiten finde.
06.12.2006, 08:31	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: suche den letzten eigenvektor ... Alles richtig. In diesem Fall gibt es keinen 3. Eigenvektor. Beachte: Die Anzahl der Eigenvektoren ist kleiner oder gleich der Nullstellen-Vielfachheit des Eigenwertes. Das kann also auch mal echt kleiner sein.
06.12.2006, 10:53	kurze frage	Auf diesen Beitrag antworten »
ach so. es gehört jetzt zwar hier nicht mehr rein, aber eigentlich ging es mir darum dieses DGL-system zulösen: $\begin{eqnarray} x'=\begin{pmatrix} 2 & 0 &1 \\ 0& 2 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{pmatrix}x \end{eqnarray}$ Jetzt hab ich also die EW und die beiden Eigenvektoren. Und das bedeutet, dass die Lösung so aussieht: $\begin{eqnarray} e^{3t}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ,e^{2t}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber man baucht doch noch unbedingt diesen dirtten Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a\\ b \\ c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ damit man das Fundamentalsystem angeben kann?? Aber wenn es nur zwei Eigenvektoren gibt, wie mach man das???
06.12.2006, 11:42	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Tja diese Lösung funktioniert nur wenn die Matrix tatsächlich Diagonalisierbar ist. Ansonsten brauchst Du Hauptvektoren, das ganze rührt ja daher das unter Ähnlichkeitstransformation folgendes gilt: Sei hierzu J die Jordannormalform von A es is also $\begin{eqnarray} PJP^{-1} = A \end{eqnarray}$ also $\begin{eqnarray} x' = PJP^{-1}x \end{eqnarray}$ multipliziere mit $\begin{eqnarray} P^{-1} \end{eqnarray}$ von links also $\begin{eqnarray} P^{-1}x' = JP^{-1}x \end{eqnarray}$ setze $\begin{eqnarray} z = P^{-1}x \end{eqnarray}$ also insgesammt: $\begin{eqnarray} z' = Jz \end{eqnarray}$ So dein Fundamentalsystem sind dann die linear unabhängigen Vektoren dieser Lösungsmenge mal P von links.
06.12.2006, 19:18	kurze frage	Auf diesen Beitrag antworten »
hab jetzt die normalform bestimmt. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2 &1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ aber was ist P? ich meine wie bestimmt man P?
06.12.2006, 19:22	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
P sind deine Transformationsmatrizen auf die JNF, und besteht aus den Hauptvektoren zu den Eigenwerten.
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06.12.2006, 19:46	kurze frage	Auf diesen Beitrag antworten »
irgendwie komm ich einfach nicht weiter, LinA ist schon zu lange her Ich möchte jetzt zb. P bestimmen: für $\begin{eqnarray} \lambda=3 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \lambda=2 \end{eqnarray}$ => $\begin{eqnarray} v_2=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ D.h. doch $\begin{eqnarray} P:=\begin{pmatrix} 1& 1 & a \\ 0 & 0 & b \\ 0 &1 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um x=(a,c,b) zu bestimmen muss man doch diese gleichung lösen: $\begin{eqnarray} (A-2E)x=v_2 \end{eqnarray}$ oder? Aber wenn ich das berechne kommt da raus: $\begin{eqnarray} v_3=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber dann ist $\begin{eqnarray} PJP^-1 \end{eqnarray}$ nicht gleich A Irgendwas mache ich da richtig falsch ..
06.12.2006, 20:22	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Hauptvektoren der Stufe n liegen im Lösungsraum von $\begin{eqnarray} (\lambda I - A)^nx = v_{n-1} \end{eqnarray}$ Wobei $\begin{eqnarray} v_{n-1} \end{eqnarray}$ ein bestimmer Hauptvektor des Raumes darunter ist. In deinem Fall ist es trivial da Du den Eigenvektor nimmst. Du suchst einen Hauptvektor der zweiten Stufe.
06.12.2006, 20:34	kurze frage	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja ich hatte mich anscheinend verrechnet. Das sieht jetzt so aus: $\begin{eqnarray} P:=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} J:=\begin{pmatrix} 3 & 0 &0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Hab jetzt $\begin{eqnarray} z'=Jz \end{eqnarray}$ gelöst: Die Eigenvekroten sind: $\begin{eqnarray} z_1(t)= \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}e^{3t} , z_2(t)=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}e^{2t}, z_3(t)=\begin{pmatrix} 0\\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}e^{2t} \end{eqnarray}$ Und das Fundamentalsystem von x(t) ist dann $\begin{eqnarray} P\begin{pmatrix} e^{3t}& 0 &0 \\ 0 & e^{2t} & e^{2t} \\ 0 & 0 & e^{2t} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?
06.12.2006, 20:35	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Einsetzen und ausrechnen, bei DGL's kannste Deine Lösung immer selbst überprüfen.

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