Lineare Optimierungs Aufgabe

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timmy1112 Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Optimierungs Aufgabe
Hallo

Ich sitze gerade vor folgender Aufgabe:

Zur Verpackung von Konditorware werden kleine und große Faltschachteln aus beschichtetem Karton hergestellt und in Paketen zu je Hundert Stück(= Mengeneinheit) an die Abnehmer geliefert. Die Herstellung einer Mengeneinheit von kleinen Faltschachteln kostet 2€, die Kosten einer Mengeneinheit von großen Schachteln betragen 3€. Von den kleinen Schachteln werden mindestens 30 Mengeneinheiten, von den großen mindestens 40 Mengeneinheiten, zusammen jedoch mindestens 80 Mengeneinheiten.

a.) ermitteln sie Grafisch wieviele Mengeneinheiten je Schachtelgröße produziert werden müssen, wenn die Gesamtkosten der Produktion minimal gehalten werden sollen. Interpretieren sie die erhaltenen Lösungen möglichst genau und geben sie ferner die Auswirkungen der optimalen Lösungen auf die geforderten Stückzahlen an.

Lösungsansatz von mir:

erstmal die drei Geraden aufgestellt:

x... kleine Schachteln

y....große Schachteln

30x+40y=80,
x=30
y=40

[attach]19139[/attach]

aber irgendwie hab ich das Gefühl, dass sich das wiederspricht weil bei x=30, y=40 ist es ja großergleich also obere Bereich, oder ?

mfg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste Gleichung ist falsch, sie muss x + y = 80 lauten.
Und es fehlt dann auch die Zielfunktion: z = 2x + 3y, welche dann entsprechend so zu verschieben ist, dass sie durch einen Eckpunkt des Polygons geht und nirgends innerhalb dessen Bereiches verläuft.

mY+
fre4k Auf diesen Beitrag antworten »

hallo

danke für die schnelle antwort!

es gibt noch einen Teil b.)

Aus Lagerhaltungsgründen steht der Produktion nur eine begrenzte Menge an Rohstoffen zur Verfügung. Dieser reicht für die Erzeugung von entweder höchstens 70 ME kleiner Schachteln oder andererseits von höchstens 60ME großer Schachteln. Ferner ist die zur Verfügung stehende Gesamtarbeitszeit von höchstens 450min auf die Herstellung von kleinen Schachteln mit je 3min und von den großen Schachteln mit je 5min je ME aufzuteilen.

Ermitteln sie grafisch die entsprechende Menge für ein Produktionsprogramm mit größtmöglicher Gesamtproduktionsmenge.

mein Lösungsansatz:

also man soll die Gleichungen aus a.) weiterverwenden und es kommen jetzt welche dazu:


x=70
y=60
3x+5y=450 (bei den Arbeitszeiten)

Zielfunktion:

z=x+y ??? kann das sein, x+y ist ja meine Produktionsmenge oder ?

Es steht auch in der Aufgabenstellung: interpretieren sie die erhaltene Lösungen möglichst genau und geben sie die Auswirkungen der optimalen Lösung auf allen gestellten Nebenbedingungen an. Wie ist das zu verstehen ?
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die Gleichung a) kannst du hier nicht einfließen lassen, denn in b) herrschen doch andere Voraussetzungen (!).

Die Zielfunktion ist z = x + y, richtig. Mit dieser und den drei gegebenen Randbedingungen ist das Optimierungsproblem leicht zu lösen (z = 118)



mY+
fre4k Auf diesen Beitrag antworten »

echt ? also bei dem beispiel steht bei b.) folgendes:

"Ermitteln Sie nun unter der Berücksichtigung aller die Produktion und die Stückzahlen betreffenden Bedingungen (also auch unter Einbeziehung der Nebenbedingungen aus Beispielteil a)) graphisch die entsprechende Mengen für......"
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dennoch trifft der obige Ansatz zu. Die Mengenbedingungen aus a) "höchstens" kannst du zusätzlich einzeichnen und prüfen, sie verändern nichts, die Lösung bei b) hält auch der Bedingung für die Gesamtzahl stand..

Du kannst ja versuchen, den Graphen (auf den du nicht mal eingegangen bist, ob du das überhaupt verstanden hast) eben noch mit den Linien von a) zu vervollständigen. Bitte um mehr Engagement deinerseits, ausser Fragen zu stellen; alles werde ich dir nicht machen.
 
 
loki2011 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo!
Eintrag zwar schon länger her, aber Gleichung immer noch aktuell :-)

Teil a klar, aber zu b hätte ich eine Frage

wie lautet der Ansatz zu der Gleichung?

eigener Ansatz:
X<5
Y<3
5x+3y<450

leider treffen sich bei mir die Punkte auf dem Graphen nicht, wegen der minimalen Schnittmenge zu 450

bitte um Hilfe
vielen Dank
Lg
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Dein eigener Ansatz ist leider falsch.
x und y sind doch die produzierten Mengeneinheiten der kleinen bzw. großen Schachteln, währenddessen 3 und 5 die benötigten Zeiteinheiten in Minuten für deren Herstellung je Stück darstellen.

Die Zeit für die Herstellung von x (kleinen) Schachteln beträgt somit 3x, jene für die großen Schachteln 5y. Da die Zeit für die Herstelung aller Schachteln 450 min nicht überschreiten darf, ist



Weil maximal 70 kleine und maximal 60 große Schachteln herzustellen sind, gilt



Nun siehst du, dass es (mit der Zielfunktion [rot] z = x + y --> Max.) einen gemeinsamen Schnittpunkt (der grünen, violetten und roten Geraden) gibt ...

mY+
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