Zz: O(n) bzw. U(n) Gruppen bzgl. Matrixmultiplikation

18.04.2011, 19:37

gast_mathe

Zz: O(n) bzw. U(n) Gruppen bzgl. Matrixmultiplikation

Hi,
ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe:

$\begin{eqnarray*} O(n) = \left\{ A \in \mathbb R^{n\times n} | A .... orthogonal \right\} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U(n) = \left\{ A \in \mathbb C^{n\times n} | A .... orthogonal \right\} \end{eqnarray*}$

Wir haben gezeigt: (mit der Konvention $\begin{eqnarray*} \mathbb R \subset \mathbb C \end{eqnarray*}$ )

*** $\begin{eqnarray*} O(n) \subset U(n) \end{eqnarray*}$

Jetzt sollen wir beweisen:

O(n), U(n) sind Gruppen mit der Matrixmultiplikation, und wir sollen prüfen, ob diese abelsch ist.

Gruppenaxiome:
i) a * (b * c) = (a * b) * c
ii) a * e = a
iii) a^(-1) * a = e

Schon mal vorweg: Reicht es nicht, mit dem bisher bewiesenem (***) zu sagen, dass es reicht, zu zeigen, dass U(n) mit der Matrixmultiplikation eine Gruppe ist?

Dann komme ich bei 1 nicht weiter, ich weiß nicht, wie ich genau da rangehen muss: Im LA Skript finde ich zwar was zur Matrixmultiplikation allgemein, aber das hilft mir hier nicht weiter..

Muss ich zeigen, dass (mit A,B,C in U(n) )

$\begin{eqnarray*} (A * (B* C))^{H} = ((A*B)*C)^{H} \end{eqnarray*}$
das wäre dann ja:

$\begin{eqnarray*} ((B*C)^{H} * A^{H})<br /> <br /> = (C^{H} * B^{H} * A^{H}) \end{eqnarray*}$

Und dann komme ich durch ähnliches tun von der rechten Seite in G1 auch dazu..

Wie gesagt, hier weiß ich keinen Rat.

ii) Sei e = I (Einheitsmatrix), dass müsste sie ja auch hier tun.

Muss ich dann noch zeigen, dass I^H = I^(-1) oder ist das sogar falsch?

iii) Hier habe ich keine Idee, wenn I tatsächlich mein Inverses wäre, dann müsste ich ja zeigen, dass A^H bzw. A^(-1) = I..

18.04.2011, 19:43

Mazze

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Zitat:

Muss ich zeigen, dass (mit A,B,C in U(n) )

Also, die Elemente deiner Mengen sind Matrizen, und die Verknüpfung ist die Multiplikation. Also musst Du

$\begin{eqnarray*} A*(B * C) = (A * B) * C \end{eqnarray*}$

zeigen. Die Matrizenmultiplikation ist aber assoziativ und das steht garantiert bei euch im Script. Der Punkt ist trivial.

Zitat:

ii) Sei e = I (Einheitsmatrix), dass müsste sie ja auch hier tun.

Ja das tut sie.

Zitat:

Muss ich dann noch zeigen, dass I^H = I^(-1) oder ist das sogar falsch?

Ja das musst Du zeigen. Aber das ist auch trivial Augenzwinkern

Zitat:

Hier habe ich keine Idee, wenn I tatsächlich mein Inverses wäre, dann müsste ich ja zeigen, dass A^H bzw. A^(-1) = I..

I ist nicht dein inverses sondern dein neutrales Element. Du musst jetzt für jede Matrix A aus deiner Menge eine Matrix B finden so dass $\begin{eqnarray*} AB = I \end{eqnarray*}$ gilt. Dieses B ist dann deine Inverse zu A.

(iv) Du musst die Abgeschlossenheit noch zeigen. Sprich, das Produkt zweier orthogonaler Matrizen soll wieder eine orthogonale Matrix sein.

18.04.2011, 20:13

gast_mathe

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Schon mal danke smile

Beim letzten Punkt habe ich mich tatsächlich vertan - gut, aber dieses B müsste dann ja auch A^(-1) sein, oder sehe ich das jetzt falsch?

iv) Da könnte ich mir höchstens sowas hier vorstellen..

A,B wie oben in U(n)

$\begin{eqnarray*} (A*B)^{-1} = B^{-1} * A^{-1} = B^{H} * A^{H} = (A*B)^{H} \end{eqnarray*}$

Hm.

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