Mengenoperationen Verständnisproblem?

18.04.2011, 19:54

mawen90

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Mengenoperationen Verständnisproblem?

Meine Frage:
Hallo zusammen,

das Studium hat gerade erst angefangen und schon hätte ich eine Frage zur Mengenoperation.

Es seien $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ die Menge aller natürlichen Zahlen und M die Menge $\begin{eqnarray*} M = \{x\in \mathbb N ,x<12\} \end{eqnarray*}$ . Weiterhin seien $\begin{eqnarray*} A = \{x\in M, x \text{Primzahl}\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B= \{x\in M,x \text{ ist gerade}\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C=\{x\in M, x \text{ ist durch drei teilbar}\} \end{eqnarray*}$ .

a) Bestimmen Sie die Menge $\begin{eqnarray*} D = ((A\cap B)\cup C)/ ((A\cup B)\cap C) \end{eqnarray*}$
b) Bestimmen Sie die Menge $\begin{eqnarray*} \overline{D} \end{eqnarray*}$
c) Bestimmen Sie die Potenzmenge von C.

Meine Ideen:
Ich hänge schon bei a). Meine Ideen sehen wie folgt aus:
M = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} A = {2,3,5,7,11} B = {2,4,6,8,10} und C = M = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.

Obwohl sehr schwammig ist, ob 0 \mathbb N angehört, richte ich mich an die DIN 5473, die sagt, dass 0 dazugehört.
Wie auch immer.

Wenn ich nun die Menge D vereinfache komme ich bis zu:
$\begin{eqnarray*} D=(C\cup (A\cap B))\cap (\overline{C}\cup (\overline A \cap \overline{B} )) \end{eqnarray*}$

Da C = M würde das ja bedeuten, dass D = Ø ist, bzw. D = {}.
D.h. ich habe ein Denkfehler bei der Menge C, oder?
Wobei alle natürlichen Zahlen durch 3 teilbar sind.

Ich wäre um ein Tipp sehr dankbar.
Freu

Edit: Der Formeleditor ist nicht doof, funktioniert nur nicht ohne [latex]-Tags. Ich hoffe das stimmt so in etwa. Bitte in Zukunft die Vorschau verwenden! Gruß,Reksilat.

18.04.2011, 19:58

marcelecram

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Hallo,
das war ich, sry. Anmelden soll gekonnt sein.
Der Formeleditor ist doof unglücklich

unglücklich

Gruß
Marcel

19.04.2011, 18:47

marcelecram

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Hallo zusammen,

ich möchte die Gelegenheit nutzen, um euch nochmal auf mein Verständnisproblem aufmerksam zu machen.
Schon im Vorfeld bedank ich mich recht herzlich für euer Bemühen.

Gruß
Marcel

19.04.2011, 18:52

Zitrone21

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Da du hier feste Mengen hast, kannst du doch einfach ausrechnen, welche Elemente in welcher Menge drin sind. Ich würde hier nicht großartig mit Regeln für die Umformungen von Mengen arbeiten.

Ob $\begin{eqnarray*} 0 \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ definiert sowieso jeder Prof anders. Am besten schaust du, ob ihr das in der Vorlesung definiert habt

19.04.2011, 18:53

Cordovan

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Hallo!

Also

Zitat:

Ich hänge schon bei a). Meine Ideen sehen wie folgt aus: M = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} A = {2,3,5,7,11} B = {2,4,6,8,10} und C = M = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}.

stimmt nicht. Warum sollten das endliche Mengen sein?

Bestimme doch erstmal $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (A\cup B)\cap C \end{eqnarray*}$ .

Cordovan

19.04.2011, 18:57

Zitrone21

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Zitat:

Warum sollten das endliche Mengen sein?

Weil M endlich ist, und A,B,C Teilmengen von M sind

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19.04.2011, 18:59

Cordovan

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Oh, da hast du natürlich recht ^^ Das hab ich überlesen.

Dann nehme ich mein "stimmt nicht" bis auf die Menge C zurück, bleibe aber bei meinem Hinweis.

Cordovan

19.04.2011, 19:17

marcelecram

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Zitat:

Original von Zitrone21
...am besten schaust du, ob ihr das in der Vorlesung definiert habt

Da gibt es ein Problem,
das ist ein Fernstudium.. Mit Vorlesungen ist da nicht viel, deswegen bin ich froh, dass es das Matheboard gibt Freude

Freude

Im Laufe des Studienheftes wurde grundsätzlich vereinfacht, darum dachte ich mir, mach ich das eben hier genau so.

$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ = {2}
$\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ = {2,3,4,5,6,7,8,10,11}

Für D ergebe das: D = C / A u B = {0,1,9}

Liege ich da richtig? Was habe ich dann an der "Vereinfachung" falsch gemacht?

Gruß
Marcel

19.04.2011, 19:28

Cordovan

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$\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} A\cup B \end{eqnarray*}$ sind richtig. So, jetzt machen wir weiter. Was ist dann $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup C \end{eqnarray*}$ und was ist $\begin{eqnarray*} (A\cup B)\cap C \end{eqnarray*}$ ?

Cordovan

19.04.2011, 20:03

Roman Oira-Oira

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Zitat:

Wobei alle natürlichen Zahlen durch 3 teilbar sind

Hat denn der Fragesteller überhaupt schon seine Einschätzung der Menge C und der obigen Aussage korrigiert?

Solange das nicht richtig gestellt ist, sind wohl alle weiteren Mengenverknüpfungen hier gegenstandslos!

19.04.2011, 21:23

marcelecram

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Hi,
sry, Umzugsstress LOL Hammer

LOL Hammer

Nein, der Fragesteller rätselt immernoch über die Menge C, weil er nicht begreift, wieso A und B endliche Mengen sein sollen, und C nicht.
Wie ist das "durch drei teilen" zu verstehen? Prinzipiell kann ich ja alle Zahlen zwischen 0 und 11 durch 3 teilen.

Gruß
Marcel

Und danke für eure Hilfe!

19.04.2011, 21:25

Cordovan

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Hey!

Das mit endlich / unendlich war mein Fehler, lass dich dadurch nicht verwirren. A, B und C sind Teilmengen von M und damit natürlich endlich.

Mit "durch drei teilbar" ist gemeint, dass sie ohne Rest teilbar sind. Das sind also alle Vielfachen von 3.

Cordovan

19.04.2011, 22:00

marcelecram

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Ach so!
Weil sich das Verständnisproblem bezüglich der Menge C nach deiner Antwort für mich erledigt hatte.

Zitat:

Original von Cordovan
...Dann nehme ich mein "stimmt nicht" bis auf die Menge C zurück, bleibe aber bei meinem Hinweis.

Mein erster Gedanke war auch, dass für C nur {3,6,9} in Frage kommt. Bei längerem drüber Nachdenken hab ich mir aber gesagt, hey, jede Zahl ist durch 3 teilbar.
Da merk ich man mal wieder, dass der erste Gedanke vielleicht doch nicht immer so verkehrt ist.
Frage: Wieso soll kein Rest bleiben, woran siehst du das? Wenn C eine Teilmenge von M ist, heißt das doch nicht automatisch, dass deren Elemente die gleichen Eigenschaften haben muss. Oder les ich die Aussage "ist durch drei teilbar" einfach falsch?

Für $\begin{eqnarray*} (A\cap B)\cup C \end{eqnarray*}$ gilt schließlich ={2,3,6,9}
und für $\begin{eqnarray*} (A\cup B)\cap C \end{eqnarray*}$ gilt = {3,6}.
Für D = $\begin{eqnarray*} ((A\cap B)\cup C) \end{eqnarray*}$ / $\begin{eqnarray*} ((A\cup B)\cap C) \end{eqnarray*}$ gilt dann = {2,9}.

Also das sollte jetzt stimmen vermute ich Hammer

Hammer

Dann zu b):
Die Komplementmenge von D bezüglich einer Grundmenge kann ich bei weiterem Nachdenken auch nicht angeben, weil in der Aufgabenstellung nicht deutlich wird, dass auch D eine Teilmenge von M ist. Klar, erster Gedanke war auch hier: D ist natürlich auch eine Teilmenge von M.

Zu c):
P(C) = { Ø, {3}, {6}, {9}, {3,6}, {3,9}, {6,9}, {3,6,9} }
oder kurz P(C) = 2³

Gruß Marcel

19.04.2011, 22:16

Cordovan

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Zitat:

Frage: Wieso soll kein Rest bleiben, woran siehst du das? Wenn C eine Teilmenge von M ist, heißt das doch nicht automatisch, dass deren Elemente die gleichen Eigenschaften haben muss. Oder les ich die Aussage "ist durch drei teilbar" einfach falsch?

Letzteres. Teilbarkeit auf ganzen Zahlen ist so definiert, dass bei der Division mit Rest der Wert vom Rest 0 beträgt. Siehe auch Teilbarkeit.

Zu a) bin ich einverstanden. Zu b) würde ich vermuten, dass das Komplement von D in M zu bilden ist. c) ist auch gut, bis auf diese "Kurzschreibweise" - die ist falsch (meinst du die Anzahl der Elemente?)

Cordovan

19.04.2011, 22:30

marcelecram

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Ok,

knapp 20 Jahre in Unwissenheit gelebt Hammer

Hammer

Ich hab immer gedacht, das kann man sehen wie man möchte. Du hast mich eines Besseren belehrt, danke dafür smile

smile

zu b) würde ich auch vermuten, so werde ich das auch tun, wobei aus der Aufgabenstellung wirklich nicht deutlich wird, ob D auch eine Teilmenge von M ist oder nicht. (Meines Erachtens)

zu c) natürlich mein ich |P(C)|=2³, wonach aber gar nicht gefragt ist. Big Laugh

Big Laugh

Lange Rede kurzer Sinn,
ich bedanke mich recht herzlich für deine Bemühungen!
Ich werde in den nächsten Jahren mit Sicherheit noch die ein oder andere Frage haben.

Gruß
Marcel

19.04.2011, 22:38

Cordovan

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Also D ist sicher eine Teilmenge von M, das steht außer Frage. Interessant zu wissen wäre nur, ob das Komplement von D in M, oder das Komplement von D in den natürlichen Zahlen gemeint ist. Das sollte bei einem Komplement eigentlich dazugesagt werden, wenn es nicht klar ist.

Hier tippe ich wie gesagt auf das Komplement in M.

Cordovan

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