Riemannsche Zwischensumme

18.04.2011, 19:55	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
Riemannsche Zwischensumme Hallo, ich will mit Hilfe einer Riemannschen Zwischensumme, also ohne direkte Benutzung einer Stammfunktion, zeigen, dass für $\begin{eqnarray} a < b \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f(x)=x^2 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \int_a^b \! x^2 \, dx =\frac{1}{3} (b^3-a^3) \end{eqnarray}$ Ich denke, dass ich es auch schon fast hinbekommen habe, nur irgendwo scheint noch der Wurm drin zu sein. Ich betrachte also eine Zerlegung des Intervalls $\begin{eqnarray} [a,b] \end{eqnarray}$ und wähle als Stützpunkte $\begin{eqnarray} x_k:=k \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ und als Zwischenpunkte $\begin{eqnarray} \xi_k:=x_k \end{eqnarray}$ . Dann gilt für die Riemannsche Zwischensumme: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (\xi_k)^2 (x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=1}^n (k\frac{b-a}{n} )^2 (k\frac{b-a}{n} - (k-1)\frac{b-a}{n} ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=1}^n \frac{k^2(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{(b-a)^3}{n^3} \sum\limits_{k=1}^n k^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\frac{(b-a)^3}{n^3} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ und wenn ich das nun ausmultipliziere, und anschließend den Grenzwert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ betrachte, kommt dabei $\begin{eqnarray} \frac{1}{3}(b^3-a^3) -b^2a+ba^2 \end{eqnarray}$ heraus, also nicht das, was herauskommen sollte. Mir ist nicht klar, wo der Fehler liegt. Sieht ihn jemand? danke schonmal im voraus.
18.04.2011, 20:19	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
habe den Fehler selber finden können. Ich habe meine Stützpunkte falsch gewählt. Mit $\begin{eqnarray} x_k:=a+k \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \xi_k:=x_k \end{eqnarray}$ klappt es! trotzdem danke an jeden, der drüber geschaut hat!
18.04.2011, 22:15	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
entschuldigt bitte den 3-fach post, aber es ist da doch noch ein Problem aufgetaucht. Wenn ich $\begin{eqnarray} x_k:=a+k \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \xi_k:=x_k \end{eqnarray}$ wähle, dann erhalte ich zwar das richtige Ergebnis, doch der Rechenweg wird einfach extrem "schlimm". $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n (\xi_k)^2 (x_k-x_{k-1}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=1}^n (a+k\frac{b-a}{n} )^2 (a+k\frac{b-a}{n} - (a+(k-1)\frac{b-a}{n} )) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =\sum\limits_{k=1}^n (a+k\frac{b-a}{n} )^2 \cdot \frac{b-a}{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = \frac{b-a}{n} \sum\limits_{k=1}^n \frac{a^2 n^2+2bakn-2a^2 kn+b^2 k^2-2bak^2+a^2k^2}{n^2} \end{eqnarray}$ ich erhalte hierbei zwar immer noch das gewünschte Ergebnis, wenn ich den Grenzwert für $\begin{eqnarray} n \to \infty \end{eqnarray}$ bestimme, doch ich glaube nicht, dass das der Weg ist, den man bei dieser Aufgabe gehen soll. Als Hinweis ist nämlich noch angegeben, dass man die Identität $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1(2n+1)}{6} \end{eqnarray}$ ausnutzen soll. Das ist aber nur möglich, wenn ich so vorgehe, wie in meinem 1. Post. Dort gelange ich aber nicht ans ziel. Ich glaube, ich brauche doch noch einmal Hilfe.
19.04.2011, 12:10	Manni Feinbein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist: $\begin{eqnarray} \frac{b-a}n \sum_{k=1}^n \left(a+k\frac{b-a}n \right)^2 = \frac{b-a}n\left[\sum_{k=1}^n a^2+\sum_{k=1}^n 2ak\frac{b-a}n+\sum_{k=1}^nk^2\left(\frac{b-a}n \right)^2\right] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =a^2(b-a)+a(b-a)^2\frac{n+1}n+\left(\frac{b-a}n \right)^3\frac{n(n+1)(2n+1)}6. \end{eqnarray}$ Eine schlichte Grenzwertbetrachtung und anschließendes Zusammenfassen liefert dann das Ergebnis.
19.04.2011, 15:18	ChronoTrigger	Auf diesen Beitrag antworten »
danke Manni, habe es damit hinbekommen

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