Interpolation Fehlerdarstellung

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18.04.2011, 20:03	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
Interpolation Fehlerdarstellung Meine Frage: Die Aufgabe ist im Anhang!! Meine Ideen: Ich kenne die Fehlerdarstellung der Polynominterpolation und den Beweis dazu verstehe ich auch gut. Wie haben jedoch hier auf der linken Seite die ersten Ableitungen stehen. Ich versuche schon seit Tagen auf die Lösung zu kommen, bis jetzt hat es aber gescheitert.. Ich würde mich freuen, wenn mir jemand auch ansatzweise helfen könnte....
18.04.2011, 22:43	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Hallo, also ich kenne die Lösung nicht. Wenn man die rechte Seite genau betrachtet, dann fehlt da ja ein Linearfaktor. Normalerweise haben wir $\begin{eqnarray} f(x)-p_n(x)=\prod_{i=0}^{n}(x-x_i)\cdot \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}, \quad \xi \in [a,b] \end{eqnarray}$ Bringen wir einen mal auf die andere Seite. $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-p_n(x)}{x-x_j}=\prod_{i=0 \atop i \neq j}^{n}(x-x_i)\cdot \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}, \quad \xi \in [a,b] \end{eqnarray}$ Da wir interpolieren, kann man eine 0 geschickt einfügen. $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-f(x_j) + p_n(x_j) -p_n(x)}{x-x_j}=\prod_{i=0 \atop i \neq j}^{n}(x-x_i)\cdot \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}, \quad \xi \in [a,b] \end{eqnarray}$ Das kann man nun auch so schreiben: $\begin{eqnarray} \frac{f(x)-f(x_j)}{x-x_j} - \frac{p_n(x)-p_n(x_j)}{x-x_j}=\prod_{i=0 \atop i \neq j}^{n}(x-x_i)\cdot \frac{f^{(n+1)}(\xi_x)}{(n+1)!}, \quad \xi \in [a,b] \end{eqnarray}$ Bringt dich das auf eine Idee?
19.04.2011, 14:40	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Das sieht schon sehr ähnlich aus. Vielen Dank!!! Auf der linken Seite steht nun das was ich haben möchte. Ich bräuchte jetzt nur auf der rechten Seite statt x \mathaccent x_{j}!!
19.04.2011, 14:55	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Es steht im Moment weder links noch rechts das da, was du haben willst. Du bist aber nur noch ein, zwei Überlegung davon entfernt... Da sollte nun aber was von dir kommen.
19.04.2011, 15:02	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Die linke Seite ist doch der Differenzenquotient? Oder übersehe ich hier etwas....???
19.04.2011, 15:05	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Nein, das siehst du schon richtig. Aber stand der in der Aufgabenstellung...
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19.04.2011, 15:43	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Also wenn ich nun den Limes betrachte $\begin{eqnarray} \lim_{x \to x_{j}} \end{eqnarray}$ . Das müsste gerade das sein, was ich haben möchte...
19.04.2011, 15:44	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung gute Idee.
19.04.2011, 15:51	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Super! Vielen Dank ;-)
19.04.2011, 15:53	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Gerne.
19.04.2011, 15:57	romeo_23	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Interpolation Fehlerdarstellung Jetzt verstehe ich auch wieso wir die Voraussetzung $\begin{eqnarray} f \in C^{(n+2)} \end{eqnarray}$ haben... Für die Fehlerdarstellung hatte man ja nur $\begin{eqnarray} f \in C^{(n+1)} \end{eqnarray}$ gebraucht.... Vielen Dank nochmals!!

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