Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck

19.04.2011, 09:07

Kaschmujatsi

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Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck

Meine Frage:
Ermitteln Sie die Maße eines Rechtecks von größtmöglicher Fläche, das in einem Halbkreis mit dem Radius a eingezeichnet werden kann, wenn zwei Eckpunkte auf dem Durchmesser liegen.

(Skizze siehe Anhang)

Meine Ideen:
Ideen habe ich leider keine. Verstehe die allgemeine Herangehensweise schon nicht und hier ist ja rein gar nichts an Werten gegeben! Brauche unbedingt Hilfe!

Edit lgrizu: Hilferuf aus dem Titel entfernt.

19.04.2011, 09:13

lgrizu

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck - HILFE
Die Hauptbedingung ist die Fläche des Rechtecks, welche Fläche hat es?

Die Nebenbedingung erhält man unter Zuhilfenahme von Pythagoras, ich hab dir dazu den Radius einmal "neu eingezeichnet":

[attach]19162[/attach]

19.04.2011, 09:18

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck - HILFE
Hilfreich ist auch, sich ein geeignetes Koordinatensystem zu machen, beispielsweise hier mit dem Kreismittelpunkt als Koordinatenursprung. Dann kann man mal die Koordinaten der Rechteckpunkte bestimmen.

19.04.2011, 09:21

Kaschmujatsi

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Naja allgemein: A=a*b
Nur ist in dieser Skizze, die ich vom Lehrer bekommen habe, nicht ersichtlich, ob die "untere" Kathete a/2 ist, bzw. wie sie überhaupt definiert ist...

19.04.2011, 09:24

Kaschmujatsi

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RE: Extremwertaufgabe Halbkreis, Rechteck - HILFE

Zitat:

Original von klarsoweit
Hilfreich ist auch, sich ein geeignetes Koordinatensystem zu machen, beispielsweise hier mit dem Kreismittelpunkt als Koordinatenursprung. Dann kann man mal die Koordinaten der Rechteckpunkte bestimmen.

Ich stell mich bestimmt wie der erste Mensch an .. aber ich weiß nicht, mit welcher Funktion man einen Halbkreis darstellen kann. Wie lautet die denn allgemein?

19.04.2011, 09:24

lgrizu

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Wenn a bereits für den Radius belegt ist, so solltest du deinen Rechtecksseiten andere bezeichnungen geben, zum Beispiel b und c, dann wäre die Fläche des Rechtecks A=bc.

Das ist unsere Hauptbedingung, nun die Nebenbedingung formulieren.

Zitat:

Nur ist in dieser Skizze, die ich vom Lehrer bekommen habe, nicht ersichtlich, ob die "untere" Kathete a/2 ist

Was meinst du hier, ob die untere Kathete die Hälfte des Radius a ist oder die Hälfte der Seite des Rechtecks?

Wie gesagt, bei solchen Doppelbelegungen kommt man nur durcheinander.

Edit: Wir sollten uns erst einmal auf einen Lösungsweg einigen, den zweiten kann man danach noch besprechen, welchen Weg möchtest du gehen?

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19.04.2011, 09:31

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von lgrizu

Zitat:

Nur ist in dieser Skizze, die ich vom Lehrer bekommen habe, nicht ersichtlich, ob die "untere" Kathete a/2 ist

Was meinst du hier, ob die untere Kathete die Hälfte des Radius a ist oder die Hälfte der Seite des Rechtecks?

Edit: Wir sollten uns erst einmal auf einen Lösungsweg einigen, den zweiten kann man danach noch besprechen, welchen Weg möchtest du gehen?

Ich meine, dass die untere Kathete die Hälfte des Radius a ist. Wäre das festgelegt, wäre der Lösungsansatz wesentlich einfacher zu verstehen ...

Ähm und wegen dem Lösungsweg ... ich versteht nicht ganz, was du damit meinst. Dachte, es gibt nur einen Lösungsweg für solche Aufgaben ... Erstaunt2

Erstaunt2

Edit: Ich hab wirklich keinen Plan von solchen Aufgaben unglücklich

unglücklich

19.04.2011, 09:41

lgrizu

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Es gibt (fast) immer unterschiedliche Lösungsansätze.

Wir haben ein Rechteck, dieses hat die Seitenlängen b und c, die Fläche des Rechtecks ist A=b*c.

Nun haben wir ein Dreieck dort eingezeichnet, eine Kathete des Dreiecks hat die Länge c, klar, die andere Kathete hat welche Länge?

Hierzu überlege dir, wie der Mittelpunkt des Kreises die Seite b teilt.

[attach]19163[/attach]

19.04.2011, 09:59

Kaschmujatsi

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Also ist die HB A=bc
und die NB a^2=(b^2/4)+c^2 ?

19.04.2011, 10:07

lgrizu

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Jap, genau so ist es.

Wir haben also die Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} A=b \cdot c \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2=\frac{b^2}{4}+c^2 \end{eqnarray*}$ .

Nun kann man die Nebenbedingung nach b oder c auflösen und in die Hauptbedingung einsetzen.

19.04.2011, 10:12

Kaschmujatsi

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A=b*(a^2-b^2/4)^(1/2)

und das muss ich differenzieren und null setzen...??

A'=0 ... kann das stimmen?

19.04.2011, 10:16

lgrizu

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Jap, so ist es.

19.04.2011, 10:36

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von lgrizu
Jap, so ist es.

Und was nun? Ups

Ups

19.04.2011, 10:45

lgrizu

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Leite die Funktion $\begin{eqnarray*} A(b)=b \cdot \sqrt{ a^2-\frac{b^2}{4}} \end{eqnarray*}$ nach b ab und setze die Ableitung gleich null, also A'(b)=0.

19.04.2011, 10:48

riwe

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man könnte auch die funktion

$\begin{eqnarray*} f(b)=4a^2b^2-b^4 \end{eqnarray*}$ untersuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.04.2011, 10:52

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von riwe
man könnte auch die funktion

$\begin{eqnarray*} f(b)=4a^2b^2-b^4 \end{eqnarray*}$ untersuchen Augenzwinkern

Augenzwinkern

Das ist jetzt b ersetzt??

Also nach b ableiten, und nullsetzen??
oder nach a ableiten?

19.04.2011, 10:58

lgrizu

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Weißt du denn, warum du diese Funktion untersuchen darfst?

Das ist eigentlich genau das, auf das ich hinaus wollte, wir beginnen aber jetzt nicht einfach so, eine Funktion zu untersuchen, die für uns vom Himmel gefallen ist, auch wenn riwe damit recht hat.

Wir leiten das erst noch her, dazu kann man b als positiv vorraussetzen, also ist $\begin{eqnarray*} A(b)=b \cdot \sqrt{ a^2-\frac{b^2}{4}}=\sqrt{b^2} \cdot \sqrt{ a^2-\frac{b^2}{4}} \end{eqnarray*}$ .

Nuin kann man die Wurzelgesetze anwenden und du kannst dir überlegen, warum man das auf die von Riwe genannte Funktion reduzieren kann.

Differenziert wird nach b, denn a ist der Radius, der als gegeben angenommen werden kann.

19.04.2011, 11:16

Kaschmujatsi

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Also nach b differenziert ist meine Gleichung:
$\begin{eqnarray*} \frac{2*a^{2}-b^{2}}{\sqrt{4*a^{2}-b^{2}}} \end{eqnarray*}$

19.04.2011, 11:46

lgrizu

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Schaut gut aus, nun die Nullstellen der Ableitung berechnen.

19.04.2011, 12:00

Kaschmujatsi

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da bekomm ich zwei

b1,2= $\begin{eqnarray*} \pm \sqrt{2}*a \end{eqnarray*}$

19.04.2011, 12:08

lgrizu

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Ist nicht ganz richtig, ein kleiner formeller Fehler, entweder setzen wir voraus, dass a nur positiv sein kann, dann stimmt die Lösung.

Oder wir haben: $\begin{eqnarray*} b^2=2 \cdot a^2 \Rightarrow b=\pm \sqrt{2} \cdot |a| \end{eqnarray*}$ , da gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$ .

19.04.2011, 13:08

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von lgrizu
Ist nicht ganz richtig, ein kleiner formeller Fehler, entweder setzen wir voraus, dass a nur positiv sein kann, dann stimmt die Lösung.

Oder wir haben: $\begin{eqnarray*} b^2=2 \cdot a^2 \Rightarrow b=\pm \sqrt{2} \cdot |a| \end{eqnarray*}$ , da gilt: $\begin{eqnarray*} \sqrt{a^2}=|a| \end{eqnarray*}$ .

okay .. und wie soll ich weiter rechnen? Erstaunt1

Erstaunt1

19.04.2011, 13:16

klarsoweit

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Man darf ja wohl ohne weiteres voraussetzen, daß der Radius a positiv ist. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.04.2011, 13:27

Kaschmujatsi

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Naja und wie bestimme ich nun das optimale a, durch das das Rechteck so groß wie möglich wird??

19.04.2011, 13:32

klarsoweit

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a ist doch der Radius des Halbkreises und somit als Konstante fest vorgegeben.

19.04.2011, 13:48

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von klarsoweit
a ist doch der Radius des Halbkreises und somit als Konstante fest vorgegeben.

Naja versteh aber nicht, wie ich durch das bereits errechnete auf das Ergebnis meiner Aufgabe komme. Wie gesagt .. ich komm mit Extremwertaufgaben nicht besonders gut klar unglücklich

unglücklich

Also hab jetzt:
HB $\begin{eqnarray*} A=b\cdot c \end{eqnarray*}$
NB $\begin{eqnarray*} a^{2}=\frac{b^{2}}{4}+c^{2} \end{eqnarray*}$

Zusammengefügt HB und NB (für c) $\begin{eqnarray*} A(b)=b\cdot \sqrt{a^{2} -\frac{b^{2}}{4}} \end{eqnarray*}$

Differenziert $\begin{eqnarray*} A'(b)=\frac{2\cdot a^{2} -b^{2}}{\sqrt{4\cdot a^{2} -b^{2}}} \end{eqnarray*}$

Nullstellen sind bei $\begin{eqnarray*} b_{1,2}=\pm \sqrt{2} \cdot a \end{eqnarray*}$

a ist ja positiv, logisch ..

und wie nun weiter?

19.04.2011, 14:04

klarsoweit

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Nun müßtest du schauen, daß für dieses b die 2. Ableitung A''(b) negativ ist.
Wenn wir das mal annehmen, dann ist $\begin{eqnarray*} A(\sqrt 2 a) \end{eqnarray*}$ der maximale Wert für die Rechteckfläche.

19.04.2011, 14:17

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von klarsoweit
Nun müßtest du schauen, daß für dieses b die 2. Ableitung A''(b) negativ ist.

ja, sie ist negativ. sehr komplex, aber negativ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von klarsoweit
Wenn wir das mal annehmen, dann ist $\begin{eqnarray*} A(\sqrt 2 a) \end{eqnarray*}$ der maximale Wert für die Rechteckfläche.

Also soll ich $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 a \end{eqnarray*}$ in die Zusammengesetzte Gleichung einsetzen oder versteh ich was falsch?

19.04.2011, 14:18

klarsoweit

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Ja in diese:

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Zusammengefügt HB und NB (für c) $\begin{eqnarray*} A(b)=b\cdot \sqrt{a^{2} -\frac{b^{2}}{4}} \end{eqnarray*}$

19.04.2011, 14:26

Kaschmujatsi

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Hmm ... da bekomm ich als Ergebnis $\begin{eqnarray*} \frac{b\cdot \sqrt{4-a^{2}-b^{2}}}{2} \end{eqnarray*}$

19.04.2011, 14:30

klarsoweit

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Was ist denn das? verwirrt

verwirrt

Du mußt jedes b in $\begin{eqnarray*} b\cdot \sqrt{a^{2} -\frac{b^{2}}{4}} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} \sqrt 2 a \end{eqnarray*}$ ersetzen.

19.04.2011, 14:35

Kaschmujatsi

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ah okay .. hab mich irgendwie total vertan Big Laugh

Big Laugh

Mein Taschenrechner sagt jetzt $\begin{eqnarray*} a\cdot | a | \end{eqnarray*}$ also kann man ja auch sagen $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ oder?

Edit:
Also ist das besagte Rechteck ein Quadrat ... ?
Aber wie errechne ich jetzt die Maße von dem?
Oder hab ich das schon?? Erstaunt2

Erstaunt2

19.04.2011, 15:00

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Mein Taschenrechner sagt jetzt $\begin{eqnarray*} a\cdot | a | \end{eqnarray*}$ also kann man ja auch sagen $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ oder?

Ja, wobei das auch ohne Taschenrechner geht. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Also ist das besagte Rechteck ein Quadrat ... ?

Nein.

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Aber wie errechne ich jetzt die Maße von dem?

Rechne das c aus. Dafür hattest du ja eine Formel.

19.04.2011, 15:02

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Aber wie errechne ich jetzt die Maße von dem?

Rechne das c aus. Dafür hattest du ja eine Formel.

Welche Formel meinst du?? Pythagoras?

19.04.2011, 15:05

klarsoweit

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Ja, diese:

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
und die NB a^2=(b^2/4)+c^2 ?

19.04.2011, 15:12

Kaschmujatsi

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Bin etwas verwirrt ...
Also muss ich $\begin{eqnarray*} a^{2} =\frac{b^{2}}{4} + c^{2} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ umstellen ...
>> $\begin{eqnarray*} c=\sqrt{a^{2}-\frac{b^{2}}{4}} <br /> \end{eqnarray*}$

Und jetzt für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die $\begin{eqnarray*} \sqrt{2} a \end{eqnarray*}$ einsetzen?

19.04.2011, 15:12

klarsoweit

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Genau.

smile

19.04.2011, 15:15

Kaschmujatsi

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und $\begin{eqnarray*} a^{2} \end{eqnarray*}$ bleibt?

19.04.2011, 15:20

klarsoweit

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Ja. a ist und bleibt eine Konstante.

19.04.2011, 15:28

Kaschmujatsi

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Somit kommt raus $\begin{eqnarray*} c=\frac{\sqrt{6}\cdot a}{2} \end{eqnarray*}$

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