Gruppenbeweis

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19.04.2011, 11:38	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppenbeweis Hallo zusammen, ich habe hier die folgende Aufgabe: Zeigen Sie, dass die folgenden Mengen G mit der jeweiligen Verknüpfungen o Gruppen sind: a) G=(0,1] mit x o y := x+y, falls x+y $\begin{eqnarray} \leq \end{eqnarray}$ 1 x+y-1, falls x+y > 1 b) $\begin{eqnarray} G=\left\{x+y\sqrt{2}\| x,y \in Q \right\}ohne \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ mit x o y := xy Nun meine Fragen: - Muss ich bei der a) bei dem Nachweis der Gruppenaxiome dann überall eine Fallentscheidung machen? - Bei Aufgabenteil b) verwirren mich das x und das y, die in der Menge stehen. Ist es richtig, dass diese nichts mit dem x und dem y in der Verknüpfung zu tun haben?
19.04.2011, 11:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei a) musst du nicht nur Fallunterscheidungen machen, da musst du richtig nachdenken. Bei b) hat x,y in der Mengendefinition nichts mit x,y der Gruppenoperation zu tun. Umbenennung wäre besser.
19.04.2011, 12:06	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die schnelle Antwort Elvis Werde mich dann mal heute nachmittag an die Aufgabe setzen und dann heut abend mal Lösungsvorschläge posten, damit ich weiß, ob sie richtig sind. Vielleicht kannst du mir ja mal einen Tipp zur a) geben bzw. erläutern, warum diese Aufgabe so kompliziert ist.
20.04.2011, 10:47	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppe muss abgeschlossen bezüglich der Operation sein. Dann suchst du ein eindeutig bestimmtes neutrales Element und zu jedem Elemnet ein eindeutig bestimmtes inverses Element. Das Assoziativgesetz muss gelten, für abelsche Gruppen auch noch das Kommutativgesetz. So ist das immer, die Aufgaben sind nicht mehr oder weniger kompliziert als sonst.
20.04.2011, 17:59	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Immerhin haben wir bei der Definition nicht aufgeschrieben, dass die Gruppe abgeschlossen sein muss. Außerdem steht in der Aufgabenstellung nichts von kommutativ. Schonmal zwei weniger Ich bin mir vor allem unsicher, welche Fallunterscheidungen ich bei der Aufgabe a) machen muss und wie die sich dann "auswirken". Kann mir da vielleicht jemand helfen, dann könnte ich die Aufgaben mal selbst probieren?
20.04.2011, 23:00	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Aufgabenteil b) glaube ich gelöst zu haben. Aber bei der a) hab ich gar keinen Plan. Das inverse Elemtent (also 0) liegt ja gar nicht im Intervall. Und wie ich die Fallunterscheidungen machen soll, weiß ich auch nicht. Kann mir da jemand helfen? Ich wär sehr dankbar.
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20.04.2011, 23:51	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Wieso ist 0 das inverse Element? Es gibt gar nicht das inverse Element, sondern zu jedem Gruppenelement ein passendes inverses Element. Zuerst brauchst Du ja auch das neutrale Element und wie Du (womöglich) richtig gesehen hast, ist $\begin{eqnarray} x\circ 0=x \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} x\in(0,1] \end{eqnarray}$ , nur ist eben 0 nicht in der Menge enthalten. Allerdings hast Du ja noch einen zweiten Fall für die Gruppenoperation. Vielleicht lässt sich damit ja trotzdem noch ein neutrales Element finden. Dazu brauchst Du ein $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ so, dass für alle $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ immer $\begin{eqnarray} x+y>1 \end{eqnarray}$ ist (wir wollen ja im zweiten Fall landen) und für das $\begin{eqnarray} x\circ y=x+y-1=x \end{eqnarray}$ ist. Übrigens: Eine Fallunterscheidung macht man niemals um ihrer selbst Willen, sondern immer nur dann, wenn sie benötigt wird. Also solange Du nicht irgendwann in eine Situation gerätst, in der mehrere Fälle nötig sind, musst Du Dir auch nicht um Fallunterscheidungen Gedanken machen. Gruß, Reksilat.
21.04.2011, 00:09	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen vielen Dank für die ausführliche Antwort. Ich habe mich bei meinem Beitrag davor vertippt, ich habe eigentlich das neutrale Element gemeint. Also, ich versuchs dann mal. Es muss gelten: y beliebig und x >1-y. Dann muss ich das Assoziativgesetz zeigen. Das neutrale Element ist dann 1. Das inverse Element ist dann (-x + 2) Stimmt das, was ich da so von mir gebe ?
21.04.2011, 00:18	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Das neutrale Element passt schon mal. Aber das inverse zu x wird im allgemeinen nicht 2-x sein, da für x<1 ja 2-x>1 ist und das liegt dann nicht mehr in (0,1]. Schau Dir vielleicht ein paar Beispielwerte an und untersuche, welcher Fall der Verknüpfung bei der Ermittlung des Inversen jeweils in Frage kommt. Beispiel x=0,5 i) Gibt es ein y mit $\begin{eqnarray} 0,5+y\leq 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0,5+ y=1 \end{eqnarray}$ ? ii) Gibt es ein y mit $\begin{eqnarray} 0,5+y>1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} 0,5+ y-1=1 \end{eqnarray}$ ?
21.04.2011, 00:26	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann müsste das inverse Element ja (1-x) sein, aber wenn ich jetzt für x 1 einstze, würde ja wieder ein Wert außerhalb des Intervalls rauskommen. Aber falls das jetzt stimmen sollte Wie schreibe ich das sauber auf? Muss ich dann schreiben: Für die Bestimmung des neutralen Elements muss gelten ... und dann die Rechnung Für die Bestimmung des inversen Elements mussgelten .... und dann die Rechnung ?
21.04.2011, 00:32	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Für x=1 musst Du Dir eben was anderes einfallen lassen. Für alle anderen x stimmt es. Zum Aufschrieb: Schreibe einfach, dass das neutrale Element 1 ist und dann zeigst Du, warum immer $\begin{eqnarray} x\circ 1=x \end{eqnarray}$ ist. Ähnlich beim neutralen Element: - Für x<1 ist das Inverse 1-x, denn ... - Für x=1 ist das Inverse ..., denn ... Wie Du darauf gekommen bist, musst Du normalerweise nicht noch begründen. Manchmal benötigt man für Beweise schließlich auch ein wenig Eingebung und spätestens dann wird es mit dem Begründen schwer.
21.04.2011, 00:45	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah, ich glaube ich habe es verstanden. Beim neutralen Element: x o 1 = x gilt, weil x muss ja größer als 0 sein, somit ist x + e immer >1 und somit fällt man in den zweiten Fall. Beim Inversen: Für den Fall x<1 ist es (1-x), da x +1 - x = 1 = e Für den Fall x=1 ist es 1, da x+1-1 = 1+1-1 = 1 = e Stimmt jetzt alles? Wenn ja, dann wäre da ja noch das Assoziativgesetz
21.04.2011, 01:03	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
Sieht soweit richtig aus. Ja, die Assoziativität fehlt noch. Das wird wohl das schwerste hier. Versuch Dich mal... Ich geh vorerst schlafen. Gute Nacht!
21.04.2011, 01:27	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Nochmals Danke für die Hilfe. Ich habe bei der Assoziativität noch was hingeschrieben, was eigentlich ganz gut aussieht Muss leider schon heute das Übungsblatt abgeben, daher kann ich da höchstens noch heute morgen was dran ändern. Aber du hast mir auf jeden Fall geholfen, Gruppen besser zu verstehen.
21.04.2011, 09:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du Assoziativität (und Kommutivität) noch nicht geschafft hast, dann behaupte einfach, dass diese Gesetze "offensichtlich" richtig sind, weil sie schon in den reellen Zahlen gelten und sich auf diese Gruppe "vererben". Das ist wirklich so, und die Gruppe heißt $\begin{eqnarray} \mathbb R/\mathbb Z \end{eqnarray}$ , sprich " $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ nach $\begin{eqnarray} \mathbb Z \end{eqnarray}$ " .
21.04.2011, 10:40	Reksilat	Auf diesen Beitrag antworten »
@Elvis: Meiner Meinung nach ist die Assoziativität nicht offensichtlich und lässt sich auch nicht auf $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ zurückführen. Ich würde eine solche Argumentation als Korrektor zurückweisen, da sich die Definition hier eben doch von der gewöhnlichen Addition unterscheidet. @Buggy: Für die Assoziativität, also $\begin{eqnarray} x\circ(y\circ z)=(x\circ y)\circ z \end{eqnarray}$ bietet sich zum Beispiel eine Fallunterscheidung danach an, ob $\begin{eqnarray} x+y+z\leq 1 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} 1<x+y+z\leq 2 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x+y+z>2 \end{eqnarray}$ ist.
22.04.2011, 22:34	Buggy	Auf diesen Beitrag antworten »
Da ich wie gesagt das Blatt schon am Donnerstag einreichen musste, habe ich dann mal bei der Assoziativität meine eigene Lösung hingeschrieben. Ich lass mich überraschen, obs richtig war. Danke nochmal für die Tipps.

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