Abel´schen Grenzwertsatz

19.04.2011, 13:44

AlexWi

Abel´schen Grenzwertsatz

Meine Frage:
Zeigen sie $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n} }{2n+1} =\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$
Benutzen sie die Eigenschaften des arctan und den Abel´schen Grenzwertsatz .

Meine Ideen:
ich hab gelesen dass $\begin{eqnarray*} \frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$ =arctan(1) ist
aber das hilft mir auch nicht weiter

19.04.2011, 14:04

AlexWi

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es ist ja
$\begin{eqnarray*} tan\frac{\pi }{4} =1 \end{eqnarray*}$
daraus folgt $\begin{eqnarray*} arctan 1=\frac{\pi }{4} \end{eqnarray*}$
aber wie komme ich weiter
kann mir jemand paar tipps geben

19.04.2011, 19:23

Manni Feinbein

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Zunächst hat man ja nur für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ die Reihenentwicklung:

$\begin{eqnarray*} \arctan x = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}. \end{eqnarray*}$

Um nun hinsichtlich des Verhaltens auf dem Rand des Konvergenzkreises (also insbesondere auch in 1) eine Aussage machen zu können, bietet sich die Anwendung des Abelschen GWS an.

19.04.2011, 19:40

AlexWi

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wie kann ich den abelschen grenzwertsatz hier anwenden?
verstehe das noch nicht so richtig

20.04.2011, 13:32

Hase 89

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Habe das selbe Problem und würde mich auch sehr freuen wenn das jemand erklären könnte.
Allerdings verstehe ich bei der Aufgabe auch gar nicht wieso man jetzt noch den Grenzwert Satz anwenden muss. Weil eigentlich ist die Aufgabe doch fertig wenn man nun alle Informationen zusammenfasst.
Weil pi/4 = arctan 1 dann 1 in die arctan Formel eingeben und es ist doch eigentlich gut oder? weil wir dann ja haben was wir wollen.

20.04.2011, 13:36

René Gruber

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Zitat:

Original von Hase 89
Weil eigentlich ist die Aufgabe doch fertig wenn man nun alle Informationen zusammenfasst.

Nein, ist man nicht:

Zitat:

Original von Manni Feinbein
Zunächst hat man ja nur für $\begin{eqnarray*} |x|<1 \end{eqnarray*}$ die Reihenentwicklung [...]

Du aber brauchst sie für $\begin{eqnarray*} x=1 \end{eqnarray*}$ , also für ein Argument auf dem Rand des Konvergenzkreises. Und genau diese Lücke schließt der Abelsche GWS.

EDIT: Ich merke grade, dass Manni ja schon dasselbe geschrieben hatte. Vielleicht dringt es ja wenigstens in der Wiederholung durch.

20.04.2011, 14:00

Hase 89

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wie benutzt man denn den Gws darauf? bzw. könnte ich vielleicht einen kleinen Ansatz bekommen mit dem ich Arbeiten kann ?

20.04.2011, 14:04

René Gruber

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Schau dir mal den Wikipedia-Artikel zum Abelschen GWS an: Der beinhaltet als Beispiel genau dein arctan(1).

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