Anwendungsaufgabe Extremwertproblem

19.04.2011, 13:57

Manjula

Anwendungsaufgabe Extremwertproblem

Meine Frage:
Hallo zusammen
Ich komme bei der folgenden Aufgabe nicht weiter:
Zwei Fahrzeuge A und B bewegen sich auf zwei verschiedenen geraden Strassen. Das Fahrzeug A befindet sich zur Zeit t im Punkt (t-3/t), das Fahrzeug B im Punkt (2t/9-t).

Aufgabe:
Wo befinden sich die beiden Fahrzeuge wenn ihr Abstand minimal ist, und wie viel ist dieser minimale Abstand.

Meine Ideen:
Meine erster Gedanke war Pythagoras: (xB - xA)^2+ (yB-xA)^2\sqrt{x} = Abstand AB. Als nächstes habe ich quadriert damit die Wurzel verschwindet und abgeleitet.

(t-3)^{2}+ (9-2t)^2 = AB^2
1.Ableitung von AB^2 = 2(t-3)+2(9-2t)

Auf t aufgelöst und erhalte: t=6; A (2/6) B (12/3) Abstand= 10.4
Die Läsung lautet aber t=3! Was habe ich falsch gemacht?

19.04.2011, 14:01

klarsoweit

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RE: Anwendungsaufgabe Extremwertproblem
Wie kommst du auf (t-3)² ?

19.04.2011, 14:09

Manjula

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RE: Anwendungsaufgabe Extremwertproblem
xB-xA= 2t-t-3 das quadrat ergibt sich aus dem pytaghoras

19.04.2011, 14:19

klarsoweit

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RE: Anwendungsaufgabe Extremwertproblem

Zitat:

Original von Manjula
xB-xA= 2t-t-3

Das ist falsch.

19.04.2011, 14:23

Manjula

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RE: Anwendungsaufgabe Extremwertproblem
Ich habe keine Ahnung wie ich es anders machen soll!

19.04.2011, 14:25

klarsoweit

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RE: Anwendungsaufgabe Extremwertproblem
Vielleicht solltest du einfach mal um xA eine Klammer setzen. Augenzwinkern

19.04.2011, 14:35

Manjula

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RE: Anwendungsaufgabe Extremwertproblem
und dann so weiter rechnen wie ich vorgeschlagen habe? so ghet es eben nicht, denn t=12

19.04.2011, 15:01

klarsoweit

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RE: Anwendungsaufgabe Extremwertproblem
Vielleicht rechnest du mal ganz ordentlich xB - xA aus.

19.04.2011, 15:48

Manjula

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ICH HABS! Anstatt die Wurzel zu quadrieren, habe ich mit dieser gerechnet. Also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(t+3)^{2}+ (9-2t)^{2}} \end{eqnarray*}$
Alles unter der Wurzel gelöst:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{5t^{2}-30t+90} \end{eqnarray*}$
Abgeleitet:

$\begin{eqnarray*} \frac{10t-30}{2\sqrt{5t^{2}-30t+90}} \end{eqnarray*}$
Quadriert damit die Wurzel wegfällt:

$\begin{eqnarray*} \frac{100t^{2}-900}{20t^{2}-120t+360} \end{eqnarray*}$
Nun muss der Zähler Null ergeben damit es eine Extremalstelle ist: t1=-3 t2= 3

$\begin{eqnarray*} 100*\pm 3^{2}-900 = 0 \end{eqnarray*}$
Da es eine Minimalstelle sein muss, ist es t=3 denn die 2.Ableitung muss grösser sein als Null!

A= 0/3
B=6/6
$\begin{eqnarray*} AB=\sqrt{6^{2}+ 3^{2}} = 6.7 \end{eqnarray*}$

19.04.2011, 15:51

klarsoweit

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Zitat:

Original von Manjula
ICH HABS! Anstatt die Wurzel zu quadrieren, habe ich mit dieser gerechnet. Also:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{(t+3)^{2}+ (9-2t)^{2}} \end{eqnarray*}$

Natürlich reicht es, wenn du nur den Term unterhalb der Wurzel betrachtest. Wenn dieser minimal ist, dann ist auch die Wurzel minimal. Interessant ist für mich eher die Frage, wie du nun von dem falschen (t-3)² zu dem richtigen (t+3)² gekommen bist.

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