Ebenengleichung aus 3 Punkten

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19.04.2011, 15:09	Mathefreak92	Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenengleichung aus 3 Punkten Meine Frage: Also Ich soll aus den 3 Punkten A (-6\|8\|7) B (-3\|-4\|4) C ( 1\|-8\|6) eine Ebene aufstellen sowohl in Parameter als auch in Koordinatenform. Meine Ideen: Iwie schein ich auf den Schlauch zu stehen: Wäre dies als Parameterform korrekt : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} +r \begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -4 \\ 4 \\ -2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weil man sagt doch immer einen Punkt als Stützvektor hier in diesem Fall A, und die anderen beiden als Richtungsvektoren in dem man sie von einander abzieht? Nur wie komm ich dann auf die Koordiantenform! besten Dank!
19.04.2011, 15:17	Lauralo	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebenengleichung aus 3 Punkten Ohne jetzt zu rechnen, stelle es dir mal die Ebene mit Variablen dar! 1) Zuerst muss man immer schaun, ob die drei Punkt überhaupt eine Ebene bilden. Sind die drei Punkte alle Elemente einer Geraden so bilden sie keine Ebene. d.h. Gerade mit AB aufstellen und schaun ob C in der Gerade enthalten ist 2) Parameterform, brauchst du 2 Richtungsbektoren und 1 Punkt z.B E : B + u * AB + s* AC 3) Normalvektorform, brauchst du 1 Normalvektor und 1Punk Das heißt wir machen das Kreuzprodukt mit z.B AB und AC Und nehmen uns einen beliebigen Punkt (A,B oder C) z.B E : (AB kreuz AC) * X = (AB kreuz AC) * Punkt
19.04.2011, 15:38	Mathefreak!	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso ja das die eine Ebene bilden stand doch schon in der Aufgabe sry! Aber ist das denn nun richtig? Ich verstehe nämlich net was du mit Kreuzprodukt meinst!
19.04.2011, 16:11	Nutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
Zunächst einmal ist deine Parameterform falsch: Du hast die Vektoren BC und CB berechnet, was zur Folge hat, dass die Richtungsvektoren der Ebene bis auf das Vorzeichen identisch sind. Wenn jedoch ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist, reicht das nicht aus, um eine Ebene eindeutig zu bestimmen. Du musst für die Richtungsvektoren also alle 3 Punkte verwenden, in der Regel nimmt man: $\begin{eqnarray} E: \overrightarrow{X}=\overrightarrow A +k \cdot \overrightarrow{AB} + l \cdot \overrightarrow{AC} \end{eqnarray}$ (vgl. Lauralo, 2) )
19.04.2011, 16:26	Mathefreak!	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist das hier richtig? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -3 \\ 12\\ 3 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -7\\ 16\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
19.04.2011, 16:33	Nutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, ist richtig. Die Richtungsvektoren kann man übrigens kürzen (aber nur die!) -> $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -1 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -7\\ 16\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Und jetzt die Koordinatenform: Kennst du die Ebenendarstellung mittels Normalenvektor?
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19.04.2011, 17:06	Mathefreak!	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich weiß nur das der Normalenvektor dazubenutzt werden kann um die Koordinatenform anzugeben also wenn man n $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ hat dann ist die Kooardinatenform $\begin{eqnarray} 2x_1 + 3x_2 +1x_3 \end{eqnarray}$ Aber wie man normalen vektor aus der Parameterform zieht weiß ich nicht
19.04.2011, 17:14	Nutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
Entweder du leitest dir den Normalenvektor her (Standardskalarprodukt=0) oder mit der Formel $\begin{eqnarray} \vec{n} = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3-a_3b_2 \\ -(a_1b_3-a_3b_1) \\ a_1b_2-a_2b_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
19.04.2011, 17:28	Mathefreak!	Auf diesen Beitrag antworten »
Das versteh ich nicht so ganz^^
19.04.2011, 17:35	Nutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
Verstehst du den Satz mit dem Standardskalarprodukt oder die Formel nicht? Oder sind die sogar beide Wege neu? - Es gibt nämlich noch einen, der aber etwas länger dauert.
19.04.2011, 17:37	Mathefreak!	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, nee mir sind beide Methoden neu Bzw hab sie wohl wieder vergessen
19.04.2011, 17:49	Nutzername	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann auch sein, dass du sie noch nicht gelernt hast - also der langsame Weg: Betrachten wir die Ebenengleichung $\begin{eqnarray} E: \vec{X}=\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 7 \end{pmatrix} + r\begin{pmatrix} -1 \\ 4\\ 1 \end{pmatrix} +s \begin{pmatrix} -7\\ 16\\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ In der ersten Zeile steht der x_1-Wert, in der 2. der für x_2 und was in der 3. steht kannst du dir ja denken also: $\begin{eqnarray} x_1=-6-r-7s<br /> x_2=8+4r+16s<br /> x_3=7+r+s \end{eqnarray}$ Wir nehmen eine Gleichung und lösen nach r oder s auf dann setzen wir in eine andere Gleichung ein und ermitteln den anderen Parameter das kommt dann beides in die letzte Gleichung - jetzt stehen da nur noch xe und keine Parameter mehr - fertig.
19.04.2011, 18:32	Mathefreak!	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Habe die 1. nach r aufgelöst r= 6-7s- $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ Das habe ich in die 2. eingesetzt und nach s aufgelöst s= 1/9 $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ -8/9 -1/36 $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ Das habe ich dann alles in die 3 eingesetzt und aufgelöst dann kommt bei mir raus -110= 38 $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ + $\begin{eqnarray} x_2 \end{eqnarray}$ -6 $\begin{eqnarray} x_3 \end{eqnarray}$ ! Wie geht der andere weg? Bzw wie komme ich an den Normalenvektor?

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