Ebenengleichung aus 3 Punkten

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Mathefreak92 Auf diesen Beitrag antworten »
Ebenengleichung aus 3 Punkten
Meine Frage:
Also Ich soll aus den 3 Punkten A (-6|8|7) B (-3|-4|4) C ( 1|-8|6) eine Ebene aufstellen sowohl in Parameter als auch in Koordinatenform.

Meine Ideen:
Iwie schein ich auf den Schlauch zu stehen:

Wäre dies als Parameterform korrekt :
Weil man sagt doch immer einen Punkt als Stützvektor hier in diesem Fall A, und die anderen beiden als Richtungsvektoren in dem man sie von einander abzieht?

Nur wie komm ich dann auf die Koordiantenform!

besten Dank!
Lauralo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ebenengleichung aus 3 Punkten
Ohne jetzt zu rechnen, stelle es dir mal die Ebene mit Variablen dar!

1) Zuerst muss man immer schaun, ob die drei Punkt überhaupt eine Ebene bilden. Sind die drei Punkte alle Elemente einer Geraden so bilden sie keine Ebene.
d.h. Gerade mit AB aufstellen und schaun ob C in der Gerade enthalten ist

2) Parameterform, brauchst du 2 Richtungsbektoren und 1 Punkt
z.B E : B + u * AB + s* AC

3) Normalvektorform, brauchst du 1 Normalvektor und 1Punk
Das heißt wir machen das Kreuzprodukt mit z.B AB und AC
Und nehmen uns einen beliebigen Punkt (A,B oder C)
z.B E : (AB kreuz AC) * X = (AB kreuz AC) * Punkt
 
 
Mathefreak! Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ja das die eine Ebene bilden stand doch schon in der Aufgabe sry!

Aber ist das denn nun richtig?

Ich verstehe nämlich net was du mit Kreuzprodukt meinst!
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Zunächst einmal ist deine Parameterform falsch: Du hast die Vektoren BC und CB berechnet, was zur Folge hat, dass die Richtungsvektoren der Ebene bis auf das Vorzeichen identisch sind. Wenn jedoch ein Vektor ein Vielfaches des anderen ist, reicht das nicht aus, um eine Ebene eindeutig zu bestimmen.
Du musst für die Richtungsvektoren also alle 3 Punkte verwenden, in der Regel nimmt man:

(vgl. Lauralo, 2) )
Mathefreak! Auf diesen Beitrag antworten »

Also ist das hier richtig?

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Ja, ist richtig.
Die Richtungsvektoren kann man übrigens kürzen (aber nur die!)
->

Und jetzt die Koordinatenform:
Kennst du die Ebenendarstellung mittels Normalenvektor?
Mathefreak! Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiß nur das der Normalenvektor dazubenutzt werden kann um die Koordinatenform anzugeben

also wenn man n

hat dann ist die Kooardinatenform

Aber wie man normalen vektor aus der Parameterform zieht weiß ich nicht
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Entweder du leitest dir den Normalenvektor her (Standardskalarprodukt=0) oder mit der Formel
Mathefreak! Auf diesen Beitrag antworten »

Das versteh ich nicht so ganz^^
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Verstehst du den Satz mit dem Standardskalarprodukt oder die Formel nicht?
Oder sind die sogar beide Wege neu? - Es gibt nämlich noch einen, der aber etwas länger dauert.
Mathefreak! Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

nee mir sind beide Methoden neu Big Laugh Bzw hab sie wohl wieder vergessen Augenzwinkern
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Kann auch sein, dass du sie noch nicht gelernt hast - also der langsame Weg:
Betrachten wir die Ebenengleichung

In der ersten Zeile steht der x_1-Wert, in der 2. der für x_2 und was in der 3. steht kannst du dir ja denken smile
also:

Wir nehmen eine Gleichung und lösen nach r oder s auf
dann setzen wir in eine andere Gleichung ein und ermitteln den anderen Parameter
das kommt dann beides in die letzte Gleichung - jetzt stehen da nur noch xe und keine Parameter mehr - fertig.
Mathefreak! Auf diesen Beitrag antworten »

Also

Habe die 1. nach r aufgelöst

r= 6-7s-

Das habe ich in die 2. eingesetzt und nach s aufgelöst

s= 1/9 -8/9 -1/36

Das habe ich dann alles in die 3 eingesetzt und aufgelöst dann kommt bei mir raus

-110= 38 + -6 !


Wie geht der andere weg? Bzw wie komme ich an den Normalenvektor?
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