W.-Maße: Gleichung/ Ungleichung beweisen

19.04.2011, 16:43

Gast11022013

W.-Maße: Gleichung/ Ungleichung beweisen

Meine Frage:
Seien $\begin{eqnarray*} A,B,C,A_1,A_2,\hdots \in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ Ereignisse in einem Wahrscheinlichkeitsraum $\begin{eqnarray*} (\Omega,\mathcal{F},P) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(A\cap B\cap C)=\emptyset \end{eqnarray*}$ .

Zeigen Sie:

(a) $\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(A\cap C)-P(B\cap C) \end{eqnarray*}$

(b) $\begin{eqnarray*} P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i)\geq \sum_{i=1}^{n} P(A_i)-\sum_{1\leq i<j\leq n} P(A_i\cap A_j) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
In der Vorlesung wurde für die Vereingung zweier Mengen Folgendes gezeigt:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \end{eqnarray*}$
Dies verwende ich bei meiner Idee zu (a).

Zu (a):
$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C)=P((A\cup B)\cup C)=\underbrace{P(A\cup B)}_{=P(A)+P(B)-P(A\cap B)}+P(C)-\underbrace{P(\underbrace{(A\cup B)\cap C}_{=(C\cap A)\cup (C\cap B)})}_{=P(C\cap A)+P(C\cap B)-P((C\cap A)\cap (C\cap B))} \end{eqnarray*}$

Es ergibt sich also [unter Berücksichtigung des Minus und der Klammerung]:

$\begin{eqnarray*} P(A\cup B\cup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A\cap B)-P(C\cap A)-P(C\cap B)+\underbrace{P((C\cap A)\cap (C\cap B))}_{=P(A\cap B\cap C)=\emptyset} \end{eqnarray*}$

Daraus folgt die Behauptung.

Zu (b):
Muss man das per Induktion zeigen?

19.04.2011, 16:48

René Gruber

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Zitat:

Original von Dennis2010
Muss man das per Induktion zeigen?

Nein, aber man kann.

19.04.2011, 17:02

Gast11022013

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Okay, man kann. Dann möchte ich das gerne.

Vorweg noch eine Frage zu (b):

Ist es identisch, wenn man zeigt:

$\begin{eqnarray*} P(A_1\cup A_2\cup \hdots \cup A_n)\geq \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k+1} \sum_{(i_1,\hdots ,i_k)} P(A_{i_1}\cup \hdots A_{i_k} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 1\leq i_1<\hdots <i_k\leq n \end{eqnarray*}$ ?

19.04.2011, 17:04

René Gruber

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Wahrscheinlich meinst du die Siebformel (wenn du die Fehler da rausmachst, ähnlich wie oben schon mal vertauschst du gern $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cup \end{eqnarray*}$ ), da gilt sogar Gleichheit.

Und nein, es ist nicht identisch, in deiner zu bweisenden Ungleichung geht die Summe nur bis k=2, und es ist nicht ohne weiteres "offensichtlich", dass bei Weglassung der restlichen Glieder man das = durch ein > ersetzen kann.

19.04.2011, 17:08

Gast11022013

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Okay, danke.
Was ich zeigen soll, ist doch, das bei (a) - nur mit der Vereinigung von n Mengen.

Dann will ich mich mal an den Induktionsbeweis machen.

19.04.2011, 20:26

Gast11022013

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Ich habe mich doch gegen einen Beweis per Induktion entschieden, stattdessen würde ich gerne Folgendes machen:

Beweis zu (b):
$\begin{eqnarray*} P(\bigcup_{i=1}^{n} A_i)=P(A_1\backslash (A_1\cap (A_2\cup \hdots \cup A_n))\cup A_2\backslash (A_2\cap (A_3\cup \hdots \cup A_n))\cup\hdots \cup A_{n-1}\backslash (A_{n-1}\cap A_n)\cup A_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = P(A_1)-P((A_1\cap A_2)\cup\hdots \cup (A_1\cap A_n))+P(A_2)-P((A_2\cap A_3)\cup\hdots \cup (A_2\cap A_n))+\hdots +P(A_{n-1})-P((A_{n-1}\cap A_n)+P(A_n) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \geq \sum_{i=1}^{n} P(A_i)-\sum_{1\leq i<j\leq n} P(A_i\cap A_j) \end{eqnarray*}$

Geht das so? Ist das i.O.?

PS. Diese Ungleichung, so habe ich gerade gelernt, ist die sog. Bonferroni-Ungleichung.

20.04.2011, 18:30

Gast11022013

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Keine Antwort bedeutet hoffentlich, dass mein Beweis okay ist.
Auf den ersten Blick wirkt er zwar vielleicht etwas unübersichtlich, dafür ist er kürzer und gesclossener als ein Beweis per Induktion. Finde ich jedenfalls.

Augenzwinkern

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