Orthogonale Projektion

19.04.2011, 16:45

El Rey

Orthogonale Projektion

Meine Frage:
hallo liebes forum Augenzwinkern

ich sitze grad an folgender aufgabe und finde i-wie keinen ansatz

aufg: gegeben sei $\begin{eqnarray*} U:=Span(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \\ -1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ als teilraum des $\begin{eqnarray*} \mathbb R ^{4} \end{eqnarray*}$

a) Bestimme eine Basis von $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$
b) Bestimme eine matrix sodass gilt $\begin{eqnarray*} \Pi _{U} : V -> V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \Pi _{U}(v)=A\vec{v} \end{eqnarray*}$
c) bestimme eine zerlegung für $\begin{eqnarray*} \vec{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u^{\bot}\in U^{\bot}\wedge u\in U \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
bei a) hab ich überhaupt keine idee weil ich nich genau weis welche dimension $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$ haben

bei b) is das so wie darstellungsmatrizen und wenn ja von welcher zu welcher basis ??

c) hab ich so gar keine idee

kann mir da wer helfen ??

20.04.2011, 09:30

Mazze

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zu a) Was ist die Dimension eines Vektorraumes? Schau in deine Aufzeichnungen. Die Dimension von U kannst Du dann sofort bestimmen. Danach bestimmst Du das orthogonale Komplement und dessen Dimension.

20.04.2011, 15:03

El Rey

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nach der dimensionformel muesste $\begin{eqnarray*} dim (U)=2 \end{eqnarray*}$ und darus folgt dann halt auch $\begin{eqnarray*} dim(U^{\bot}) =2 \end{eqnarray*}$

ich weis auch das man folgendes gelten muss

SP von $\begin{eqnarray*} <u_{i},u^{\bot}_{i}>=0 \end{eqnarray*}$

aber wie komme ich damit jez auf eine basis von $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$ ???????????

20.04.2011, 15:24

Mazze

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Zitat:

aber wie komme ich damit jez auf eine basis von $\begin{eqnarray*} U^{\bot} \end{eqnarray*}$ ???????????

Meistens ist die Anzahl der Fragezeichen umgekehrt proportional zur Bereitschaft der Helfer zu helfen, so als Hinweis.

Als erstes bestimmst Du das orthogonale Komplement, du bestimmst also die Menge

$\begin{eqnarray*} \left\{ v \in V | \langle v,w\rangle = 0 \forall w \in U\right\} \end{eqnarray*}$

Das kannst Du durch einfache Gleichungssysteme erreichen. Danach wählst Du daraus eine Basis aus und erhältst so deine Dimension.

20.04.2011, 20:17

El Rey

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okay ich hab a) jez
wie schauts mit b) aus ??
hast du da en tipp für mich ??

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