Induktion, Ungleichung

19.04.2011, 18:31	giggen	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktion, Ungleichung Meine Frage: Huhu... ich hab da mal wieder ein Problem mit einem Induktionsbeweis... Also: Man zeige für $\begin{eqnarray} n\geq 2 \end{eqnarray}$ die Ungleichung $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^{2}} < 2-\frac{1}{n} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: I.A. n=2 $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^2 \frac{1}{k^{2}} < 2-\frac{1}{2} \end{eqnarray}$ 1,25 < 1,5 ist offensichtlich richtig I.V. Die Beh. gelte für ein $\begin{eqnarray} n\in \mathbb N \end{eqnarray}$ I.S. n -> n+1 $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{n+1} \frac{1}{k^{2}}= \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}} \stackrel{\mathrm{IV}}< 2-\frac{1}{n} +\frac{1}{(n+1)^{2}} \end{eqnarray}$ Hier steck ich dann aber fest... ich hab schon versucht zu erweitern etc. aber ich komm einfach nicht auf nen zufriedenstellendes Ergebnis. Mir fehlt bestimmt wieder nur ne kleine Denkhilfe... aber danke schonmal vorab
19.04.2011, 19:19	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Also Du musst doch jetzt nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} 2- \frac 1 n + \frac{1}{(n+1)^2} \leq 2-\frac{1}{n+1} \end{eqnarray}$ gilt. Bring dazu einfach alles auf eine Seite, streich die 2en weg, bringe alles auf einen Nenner und löse die Klammern im Zähler auf.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »