Kommutativität von Matrizen

06.12.2006, 13:33

moinseflex

Kommutativität von Matrizen

Hi Leute!

Sitze schon die ganze Zeit an einer Aufgabe dran, komme aber überhaupt nicht mit der zurecht.

Aufgabe:
Bestimmen Sie die Menge $\begin{eqnarray*} K = \{A \in M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n,\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mid \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} AB = BA \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} B \in M \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} (n,\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \} \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Betrachten Sie zu gegebenem $\begin{eqnarray*} A \in K \end{eqnarray*}$ die Produkte AB und BA für spezielle Matrizen B, die außer einer Eins nur Nullen enthalten.

Meine bisherigen Überlegungen:
Erst einmal ist mit $\begin{eqnarray*} M (n,\mathbb R ) \end{eqnarray*}$ die Menge aller nxn-Matrizen mit Einträgen aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ !

Bezüglich des Hinweises kann eine 2x2-Matrix B 4 verschiedene Gestalten annehmen: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Jetzt hat man folgende Produkte (hier für 1. Bps. der 2x2-Matrix B): $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & 0 \\ c & 0 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Nun kann man sagen, dass a = a, 0 = b, c = 0 und 0 = 0 ist.
Man stellt nun für die anderen drei 2x2-Matrizen B auch solche Gleichungen auf. Auf jeden Fall könnte man dann a, b, c und d berechnen.
Das gleiche könnte man dann ja auch für 3x3-Matrizen ( hier gäbe es 9 verschiedene Anordnungen von B) usw. machen.
Aber ich soll es ja allgemein machen.
Dazu glaube ich, dass das Produkt einer beliebigen nxn-Matrix mit der Einheitsmatrix kommutativ ist. Außerdem ist das Produkt einer beliebigen nxn-Diagonalmatrix mit einer nxn-Diagonalmatrix kommutativ ist. Außerdem ist das Produkt einer nxn-Matrix mit seiner Inversen kommutativ.

Toll, wie zeige ich es allgemein für alle nxn-Matrizen und wie schreibe ich es formal auf?
Kann mir bitte einer helfen!
Das wäre sehr nett!
Schon mal ein herzlichstes Dankeschön vorab!
LG Daniel

06.12.2006, 14:02

Divergenz

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RE: Kommutativität von Matrizen
Hallo,

zuerst würde ich mal ein beliebiges Element beider Produkte vergleichen, also
$\begin{eqnarray*} (AB)_{ij}=\sum_{k=1}^na_{ik}b_{kj} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} (BA)_{ij}=\sum_{k=1}a_{kj}b_{ik}. \end{eqnarray*}$
Um nun etwas über die Struktur von A zu erfahren, kann man ja mal spezielle Matrizen B einsetzen, z.B. die aus dem Hinweis, also mit $\begin{eqnarray*} b_{ij}=\delta_{il}\delta_{jm} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \delta \end{eqnarray*}$ das Kroneckersymbol ist (also 1 wird bei gleichen Indizes, sonst 0).
Dann erhält man, dass A schon mal eine Diagonalgestalt haben muss!
Setzt man dieses Wissen nun wieder in die Produktdarstellungen ein, so sollte man sehen, dass alle Diagonaleinträge auch noch identisch sein müssen, also
$\begin{eqnarray*} A=aE \end{eqnarray*}$ , mit der Einheitsmatrix $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ und einer reellen Zahl $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ .

06.12.2006, 14:37

Mazze

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Zitat:

Dann erhält man, dass A schon mal eine Diagonalgestalt haben muss!

Matrizen über den reellen Zahlen vertauschen wen sie eine gemeinsame Eigenbasis haben. Sei P invertierbar und A und B 2 verschiedene Diagonalmatrizen und $\begin{eqnarray*} C = PAP^{-1}, D = PBP^{-1} \end{eqnarray*}$
dann gilt

$\begin{eqnarray*} CD = DC \end{eqnarray*}$

du wirst feststellen das C und D keine Diagonalmatrizen sein müssen.

06.12.2006, 14:42

Divergenz

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Da bei dieser Aufgabe B aber beliebig sein soll, wie die Definition von K sagt, muss in dieser Allgemein heit A schon ein Vielfaches von E sein. In deinem Fall stellst du ja große Anforderungen an B!

06.12.2006, 14:57

moinseflex

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Wenn also $\begin{eqnarray*} (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n~a_{ik}b_{kj} \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} b_{kj} = b_{jj} \cdot \delta_{kj} \end{eqnarray*}$ (Kroneckersymbol) und es verbleibt in der Summe nur der Term mit k = j, also $\begin{eqnarray*} (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^n~a_{ij}b_{jj} \end{eqnarray*}$ .
Damit dann $\begin{eqnarray*} (AB)_{ij} = (BA)_{ij} \end{eqnarray*}$ gilt, muss doch $\begin{eqnarray*} b_{ii} = b_{jj} \end{eqnarray*}$ gelten. Damit dann AB = BA gilt, muss dies für alle i,j erfüllt sein, also alle Diagonaleinträge von B identisch sein, und damit B ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix sein, oder?

06.12.2006, 14:57

Mazze

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Da hab doch glatt das für alle B übersehn , alles ok dann. Die einzigen Matrizen die mit allen vertauschen sind wie richtig gesagt spezielle Diagonalmatrizen.

06.12.2006, 15:03

Divergenz

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An moinseflex:

Du sollst für B die speziellen Matrizen mit $\begin{eqnarray*} b_{ij}=\delta_{im}\delta_{jl} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} m,l\in\{1,...,n\} \end{eqnarray*}$ wählen. Im Ergebnis kannst du ja nur Bedingungen an A stellen um K zu beschreiben, denn dein B in der Definition von K ist beliebig gewählt.

06.12.2006, 15:14

moinseflex

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An Divergenz: Wie soll ich es dann aufschreiben? Ich habe echt keine Plan, wie ich es sonst machen soll!
Noch eine Frage: Ist es denn richtig, das die Kommutativität dann nur für ein skalares Vielfaches der Einheitsmatrix für A gilt, oder kann es auch noch andere geben? Z.B. wenn A die Inverse zu B ist?

06.12.2006, 15:32

Divergenz

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Wenn du so ein B verwendest, dann erhälst du doch
$\begin{eqnarray*} (AB)_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} j\neq m \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} (AB)_{im}=a_{il} \end{eqnarray*}$
sowie
$\begin{eqnarray*} (BA)_{ij}=0 \end{eqnarray*}$ , falls $\begin{eqnarray*} i\neq l \end{eqnarray*}$ ist und $\begin{eqnarray*} (BA)_{lj}=a_{mj}. \end{eqnarray*}$
Damit muss nun aber $\begin{eqnarray*} a_{il}=(AB)_{im}=(BA)_{im}=0 \end{eqnarray*}$ sein, falls $\begin{eqnarray*} i\neq l \end{eqnarray*}$ .
Also gewinnst du durch diese Überlegung die Diagonalstruktur von A in der Def. von K. Damit A aber Kommutativ für alle B ist, muss es definitiv ein (skalares) Vielfaches der Einheitsmatrix sein, d.h.
$\begin{eqnarray*} K=\{A\in M(n,\mathbb{R}):\, A=\lambda E, \lambda\in\mathbb{R}\}. \end{eqnarray*}$

zu deiner letzten Frage: Zu welchem aller $\begin{eqnarray*} B\in M(n,\mathbb{R}) \end{eqnarray*}$ willst du A denn invers wählen? Dann stimmt die Kommutativität doch nur in Verbindung mit diesem B, aber doch nicht mit jedem!

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