Hausdorffraum und topologischer Produktraum

19.04.2011, 19:35	schmouk	Auf diesen Beitrag antworten »
Hausdorffraum und topologischer Produktraum Meine Frage: Die Aufgabe lautet: (X,T) ein Hausdorff-Raum. (i) Zeigen Sie dass $\begin{eqnarray} M:=\{(x,x) \| x\in X\} \end{eqnarray}$ als Menge im topologischen Produktraum $\begin{eqnarray} (X\times X, T_{X\times X}) \end{eqnarray}$ abgeschlossen ist. (ii) Seif $\begin{eqnarray} f:X\to X \end{eqnarray}$ stetig. Zeigen Sie $\begin{eqnarray} N:=\{x\in X \| f(x)=x\} \end{eqnarray}$ ist abgeschlossen in (X,T) Meine Ideen: So für (i) ist z.z. das $\begin{eqnarray} X\times X\setminus M\in T \end{eqnarray}$ . Definiert ist der topologische Produktraum so: Sei $\begin{eqnarray} X = \prod_{i\in I} X_i \end{eqnarray}$ das kartesische Produkt, wobei $\begin{eqnarray} (X_i,T_i) \end{eqnarray}$ ein topol. Raum für $\begin{eqnarray} i\in I \end{eqnarray}$ ist.Sei $\begin{eqnarray} pr_i:X\to X_i \end{eqnarray}$ die Projektion auf die i-te Komponente. Dann heißt $\begin{eqnarray} T(pr_i:i\in I) \end{eqnarray}$ die Produkttopologie auf X. Ich schätze, dass (X,T) hausdorffsch ist, brauche ich erst in (ii), verstehe die Definition leider schon gar nicht: Es gilt aber schon immer noch: $\begin{eqnarray} T(pr_i:i\in I)\subset P(X) \end{eqnarray}$ (Potenzmenge), oder? Was sagt mir denn diese Projektion jetzt? EDIT: $\begin{eqnarray} T(\{pr_i:i\in I\})\subset P(X) \end{eqnarray}$ , das bedeutet, dass T von $\begin{eqnarray} \{pr_i:i\in I\} \end{eqnarray}$ erzeugt wird? Grüße, schmo
19.04.2011, 21:27	Merlinius	Auf diesen Beitrag antworten »
Also die Produkttopologie ist die gröbste Topologie, für die alle Projektionen stetig sind. Das ist wohl gemeint mit der Schreibweise. Für die Lösung der beiden Aufgaben, ist es erstmal wichtig zu wissen, dass $\begin{eqnarray} U \subset X, V \subset Y \text{ offen } \Rightarrow U \times V \subset X \times Y \text{ offen } \end{eqnarray}$ (Das gilt nicht genauso für unendliche kartesische Produkte!) Also eine Menge ist genau dann offen, wenn jedes Element aus der Menge eine offene Umgebung hat, die ganz in der Menge liegt. Dies solltest Du bei beiden Aufgaben benutzen. Wähle also für i) ein Element, das nicht auf der Diagonalen (=M) liegt, und zeige, dass dieses eine offene Umgebung hat, die nicht die Diagonale schneidet. (Damit zeigst Du, dass X\M offen.) Dazu benutzt Du die Hausdorff-Eigenschaft. In ii) kann man benutzen, dass die Diagonale abgeschlossen ist. Im Prinzip betrachtet man nun den Graphen von f: $\begin{eqnarray} G_f := \{(x, f(x)) \| x \in X\} \subset X \times X \end{eqnarray}$ Du willst also wieder zeigen, dass N\X offen ist. Wähle ein Element x, das nicht in N liegt. Was weißt Du dann über $\begin{eqnarray} (x, f(x)) \in X \times X \end{eqnarray}$ ? Denk nun an die Diagonale M und benutze, dass diese abgeschlossen ist. Versuche also eine offene Umgebung um (x, f(x)) zu finden und versuch, daraus die gewünschte Umgebung um $\begin{eqnarray} x \in X \end{eqnarray}$ zu gewinnen, die ganz außerhalb N liegt.

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