Quadratische Gleichung mit Wurzeln lösen

19.04.2011, 20:35

Christian_P

Quadratische Gleichung mit Wurzeln lösen

Ich wollte diese Aufgabe lösen, es gelingt mir aber nicht, das Endergebnis in Wurzeln anstatt als irrationale Zahl anzugeben.

$\begin{eqnarray*} \sqrt{15} x²-5\sqrt{3}x+3\sqrt{5}x-15=0 \sqrt{15}x²+(-5\sqrt{3}+3\sqrt{5})x-15=0 \sqrt{15}x²+(-\sqrt{75}+\sqrt{45})x-15=0 x²+(-\sqrt{5}+\sqrt{3})x-\sqrt{15}=0 x²-(\sqrt{5}-\sqrt{3})x-\sqrt{15}=0 \end{eqnarray*}$

jetzt kann ich die Lösungsformel anwenden

$\begin{eqnarray*} x1/2 = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} \right)^2+\sqrt{15}} \end{eqnarray*}$

ist so weit alles richtig?
ab hier komm ich nicht so richtig weiter

19.04.2011, 21:31

Helferlein

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Soweit stimmt es.
Danach kommt die Binomische Formel zum Einsatz und Du kannst unter der Wurzel einiges zusammenfassen.

20.04.2011, 16:24

Christian_P

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Danke für deinen Tipp!

$\begin{eqnarray*} x1/2 = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}\pm \sqrt{\left( \frac{-\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} \right)^2+\sqrt{15}} \end{eqnarray*}$

nur mal die rechte Seite betrachtet;

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}\sqrt{5}+5}{4}+\sqrt{15}} \sqrt{\frac{3-2\sqrt{15}+4\sqrt{15}+5}{4}} \sqrt{\frac{2\sqrt{15}+8}{4}} \sqrt{\frac{2(\sqrt{15}+4)}{4}} \sqrt{\frac{\sqrt{15}+4}{2}} x1 = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\frac{\sqrt{15}+4}{2}} x2 = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{\sqrt{15}+4}{2}} \end{eqnarray*}$

wie könnte ich jetzt weitermachen?

21.04.2011, 08:37

klarsoweit

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Zitat:

Original von Christian_P
nur mal die rechte Seite betrachtet;

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3-2\sqrt{3}\sqrt{5}+5}{4}+\sqrt{15}} \end{eqnarray*}$

An dieser Stelle wäre es geschickter, so zu rechnen:

$\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{3 - 2\sqrt{3}\sqrt{5} + 5}{4} + \sqrt{15}} = \sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{3}\sqrt{5} + 5}{4}} = \sqrt{\frac{(\sqrt{3} + \sqrt{5})^2}{4}} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

21.04.2011, 10:16

Christian_P

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Ja! Darauf wäre ich nicht so schnell gekommen, jetzt haut es hin! smile

$\begin{eqnarray*} x1 = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{(2)^2}} x1=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2} x1=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2} x1=\frac{2\sqrt{5}}{2} \underline{\underline{x1=\sqrt{5}}} x2 = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}-\sqrt{\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}{(2)^2}} x2=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{3}+\sqrt{5}}{2} x2=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{2} x2=\frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2} x2=\frac{-2\sqrt{3}}{2} \underline{\underline{x2=-\sqrt{3}}} \end{eqnarray*}$

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