Eigenraum berechnen

19.04.2011, 23:06

Jean-Louis Bouffon

Eigenraum berechnen

Meine Frage:
Ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray*} A := \begin{pmatrix} 2 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & 3 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & 0 & 1 \\ -3 & -2 & -1 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Deren Eigenwerte sind $\begin{eqnarray*} c_1 = 1, c_2 = 6, c_3 = -1, c_4 = -1 \end{eqnarray*}$ .

Jetzt möchte ich die Eigenräume zu den Eigenwerten bestimmen. Z.B. für $\begin{eqnarray*} c_2 \end{eqnarray*}$ den Eigenraum $\begin{eqnarray*} ER_2 \end{eqnarray*}$ : $\begin{eqnarray*} ER_2 = Kern(A - c_2 * id_{\mathbb R^{4 \times 4}}) = Kern(\begin{pmatrix} -4 & 2 & 1 & -1 \\ 3 & -3 & 1 & 1 \\ 3 & 4 & -6 & 1 \\ -3 & -2 & -1 & -6\end{pmatrix}) \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Fragen:

(a) Zähle ich -1 bei den Eigenwerten doppelt oder nur einmal? Habe beides schon gehört...
(b) Beim Anwenden des Gauß-Algorithmus erhalte ich dann irgendwann eine Nullzeile. In dieser Zeile schreibt man auf die Hauptdiagonale eine -1 ("-1-Trick"). Die Spalte, in die man die -1 geschrieben hat, ist der Eigenvektor. Stimmt das? Muss die Matrix zu diesem Zeitpunkt irgendwelche Kriterien erfüllen (z.B. Dreiecksmatrix, etc.)?

19.04.2011, 23:12

Jean-Louis Bouffon

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RE: Eigenraum berechnen
Noch eine weitere Frage: darf ich während der Kernberechnung Spalten & Zeilen in der Matrix mit reellen Zahlen multiplizieren / dividieren (bei der Determinantenberechnung muss man da ja aufpassen)?

20.04.2011, 08:54

klarsoweit

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RE: Eigenraum berechnen

Zitat:

Original von Jean-Louis Bouffon
(a) Zähle ich -1 bei den Eigenwerten doppelt oder nur einmal? Habe beides schon gehört...

Auch bei mehrfachen Nullstellen des charakteristischen Polynoms macht man die Bestimmung des Eigenraums zu jedem Eigenwert nur einmal. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Jean-Louis Bouffon
(b) Beim Anwenden des Gauß-Algorithmus erhalte ich dann irgendwann eine Nullzeile. In dieser Zeile schreibt man auf die Hauptdiagonale eine -1 ("-1-Trick"). Die Spalte, in die man die -1 geschrieben hat, ist der Eigenvektor. Stimmt das?

Mir scheint, da hast du was falsch verstanden.

Zitat:

Original von Jean-Louis Bouffon
Muss die Matrix zu diesem Zeitpunkt irgendwelche Kriterien erfüllen (z.B. Dreiecksmatrix, etc.)?

Das ergibt sich zwingend aus der Anwendung des Gauß-Verfahrens.

Zitat:

Original von Jean-Louis Bouffon
Noch eine weitere Frage: darf ich während der Kernberechnung Spalten & Zeilen in der Matrix mit reellen Zahlen multiplizieren / dividieren?

Du darfst alles machen, was bei Anwendung des Gauß-Verfahrens zulässig ist. Dazu gehört aber nicht die Multiplikation von Spalten mit irgendwelchen Zahlen.

20.04.2011, 10:14

Jean-Louis Bouffon

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RE: Eigenraum berechnen

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Mir scheint, da hast du was falsch verstanden.

Was denn?

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Jean-Louis Bouffon
Muss die Matrix zu diesem Zeitpunkt irgendwelche Kriterien erfüllen (z.B. Dreiecksmatrix, etc.)?

Das ergibt sich zwingend aus der Anwendung des Gauß-Verfahrens.

Also eine obere Dreiecksmatrix? Müssen die Zahlen auf der Hauptdiagonalen alle 1, 0 oder -1 sein (sagte mir gerade jemand...).

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Jean-Louis Bouffon
Noch eine weitere Frage: darf ich während der Kernberechnung Spalten & Zeilen in der Matrix mit reellen Zahlen multiplizieren / dividieren?

Du darfst alles machen, was bei Anwendung des Gauß-Verfahrens zulässig ist. Dazu gehört aber nicht die Multiplikation von Spalten mit irgendwelchen Zahlen.

Aber Zeilen schon?

20.04.2011, 10:19

klarsoweit

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RE: Eigenraum berechnen
Ja, sonst hätte ich es explizit als unzulässig erwähnt.

20.04.2011, 10:39

Jean-Louis Bouffon

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RE: Eigenraum berechnen
So, wenn ich es richtig verstanden habe, muss die Matrix eine obere Dreiecksmatrix sein, wobei in allen Spalten, die keine Nullzeile auf der Hauptdiagonalen schneidet, nur Nullen über der Hauptdiagonalen und eine 1 auf der Hauptdiagonalen stehen muss.

Ich habe überhaupt keine Ahnung, wieso das so ist, aber es funktioniert!

20.04.2011, 10:46

klarsoweit

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RE: Eigenraum berechnen

Zitat:

Original von Jean-Louis Bouffon
So, wenn ich es richtig verstanden habe, muss die Matrix eine obere Dreiecksmatrix sein

Das reicht völlig. Der Zusatz "wobei in allen Spalten, die keine Nullzeile auf der Hauptdiagonalen schneidet, nur Nullen über der Hauptdiagonalen und eine 1 auf der Hauptdiagonalen stehen muss" ist zwar ganz nett, aber nicht zwingend.

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