2-fach transitive Gruppenwirkung durch Automorphismen

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19.04.2011, 23:21

Merlinius

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2-fach transitive Gruppenwirkung durch Automorphismen

Hi, ich habe hier einen Beweis gelesen, den ich leider nicht verstehe unglücklich

Also:

Zitat:

Seien H, K Gruppen und $\begin{eqnarray*} H \longrightarrow Aut(K) \end{eqnarray*}$ eine Wirkung von H auf K durch Automorphismen. Sei $\begin{eqnarray*} |K| \geq 4 \end{eqnarray*}$ . H wirke 2-fach transitiv auf $\begin{eqnarray*} K\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ .

Behauptung: Dann haben allle Elemente aus $\begin{eqnarray*} K\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ die Ordnung 2.

Beweis:

Sei $\begin{eqnarray*} k \in K\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$ beliebig. Betrachte $\begin{eqnarray*} M = \{g \in G | g(k) = k\} \end{eqnarray*}$ . Dann operiert M 1-fach transitiv auf $\begin{eqnarray*} K\setminus\{1, k\} \end{eqnarray*}$ . Es gilt aber auch $\begin{eqnarray*} g(k^n) = k^n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ (soweit logisch). Die 1-fach Transitivität ist für Gruppen mit mehr als drei Elementen nur möglich, wenn bereits $\begin{eqnarray*} k^n \in \{1, g\} \end{eqnarray*}$ ist, also $\begin{eqnarray*} k^2 = 1 \end{eqnarray*}$ .

_______

Leider verstehe ich den Schluss im letzten Satz nicht. Warum erfordert die 1-fach transitive Wirkung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} K\{1, k\} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} k^n \in \{1, k\} \end{eqnarray*}$ ist?

20.04.2011, 00:12

Mystic

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RE: 2-fach transitive Gruppenwirkung durch Automorphismen

Zitat:

Original von Merlinius
Leider verstehe ich den Schluss im letzten Satz nicht. Warum erfordert die 1-fach transitive Wirkung von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} K\{1, k\} \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} k^n \in \{1, k\} \end{eqnarray*}$ ist?

Das ist für mich wenigstens eine glasklare Sache... Augenzwinkern

Wäre nämlich z.B. $\begin{eqnarray*} k^2 \notin \{1,k\} \end{eqnarray*}$ , dann könnte es mit Elementen aus M auf jedes andere Element von $\begin{eqnarray*} K \setminus \{1,k\} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, da M selbst als Stabilisator von k ja immer noch 1-transitiv ist auf $\begin{eqnarray*} K \setminus \{1,k\} \end{eqnarray*}$ , insbesondere könnte $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ also auf ein Element in $\begin{eqnarray*} K \setminus \{1,k,k^2\} \end{eqnarray*}$ abgebildet werden, da letztere Menge nach Voraussetzung nichtleer ist... Das ist aber nicht möglich, denn $\begin{eqnarray*} k^2 \end{eqnarray*}$ kann natürlich bei einem Automorphismus von K nur auf sich selbst abgebildet werden, da ja nach Voraussetzung bereits k durch Elemente von M auf sich selbst abgebildet wird... Es muss daher $\begin{eqnarray*} k^2 \in \{1,k\} \end{eqnarray*}$ gelten, was wiederum nur möglich ist, wenn $\begin{eqnarray*} k^2=1 \end{eqnarray*}$ ist...

20.04.2011, 00:20

Merlinius

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Danke

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