quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

20.04.2011, 00:15

tigerbine

quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Sei K ein Körper mit einer Charakteristik ungleich 2 und L|K eine quadratische Körpererweiterung. Zu zeigen: Es gibt ein a in L mit L=K(a) und b:=a² ist in K. (Man schreibt dann $\begin{eqnarray*} L=K(\sqrt{b}) \end{eqnarray*}$ )

Es haben K und L die gleiche Charakteristik. Da die Körpererweiterung einen Grad >1 hat, gibt es auf jeden Fall ein a welches in L, aber nicht in K liegt. Es ist K(a) die kleinste Körpererweiterung die K und {a} enthält. Da die Körpererweiterung von primem Grad ist, muss gelten L=K(a).

Betrachten wir L als K-Vektorraum, so hat dieser die Dimension 2. Eine Basis wäre (1,a). Das Minimimalpolynom m von a über K ist irreduzibel in K[x], hat den Grad 2 und ist normiert. Wegen m(a)=0 folgt b:=a² in K.

Irgendwo muss ich unsauber argumentiert haben, da ich nicht auf die Charakteristikforderung eingegangen bin... geschockt

20.04.2011, 00:34

Mystic

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Das Minimimalpolynom m von a über K ist irreduzibel in K[x], hat den Grad 2 und ist normiert. Wegen m(a)=0 folgt b:=a² in K.

Diesen Schluss verstehe ich irgendwie nicht... Kannst ihn vielleicht für $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ genauer ausführen?

Edit: Ich weiss natürlich, dass für diesen Körper die Voraussetzung, dass die Charakteristik ungleich 2 ist, nicht erfüllt ist, aber dein Argument müsste ja trotzdem klaglos funktionieren, da es von dieser Voraussetzung ja gar nicht Gebrauch macht...

20.04.2011, 00:46

tigerbine

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]
Mmh... Also das Minimalpolynom muss Koeffizienten aus K haben und Grad 2.

$\begin{eqnarray*} m(x)=x^2+c,~c \in K \end{eqnarray*}$

a ist Nullstelle, also

$\begin{eqnarray*} 0=a^2+c \end{eqnarray*}$

Nun ist c entweder 0 oder 1. Sei c=0. Dann muss gelten a²=0. Dann muss a=0 und liegt schon in K. Sei c=1, dann muss a²=1 sein. Dann muss a=1 sein und liegt auch schon in K. Widerspruch.

Begründet aber noch nicht, warum es sonst geht.

edit:
Ist mir klar, dass du es weißt. Ich hatte ja explizit um Angabe der Lücke gebeten... Augenzwinkern

20.04.2011, 06:56

Mystic

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Mmh... Also das Minimalpolynom muss Koeffizienten aus K haben und Grad 2.

$\begin{eqnarray*} m(x)=x^2+c,~c \in K \end{eqnarray*}$

Und ich hatte so gehofft, dass die Tatsache, dass K hier nur aus den 2 Elementen 0 und 1 besteht, dich von der fixen Idee abbringen würde, dass das Minimalpolynom notwendigerweise so aussieht, zumal man ja durch Einsetzen dieser zwei Werte sofort sieht, dass die zugehörigen Polynome, nämlich $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^2+1 \end{eqnarray*}$ nicht irreduzibel sind... unglücklich

Nein, für diesen Körper gibt es, wie bei einer früheren Gelegenheit schon angemerkt, nur ein einziges irreduzibles Polynom vom Grad 2 und das ist $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ , also nicht von dieser Gestalt...

Zitat:

Original von tigerbine
edit:
Ist mir klar, dass du es weißt. Ich hatte ja explizit um Angabe der Lücke gebeten... Augenzwinkern

Ja, ich hab ja auch genau gesehen, wo dein Fehler liegt, aber eben fälschlich gedacht (s.o.), der Hinweis, man sollte das mit $\begin{eqnarray*} K=\mathbb Z_2 \end{eqnarray*}$ probieren, würde schon ausreichen... Augenzwinkern

20.04.2011, 13:42

tigerbine

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]
Ja, keine Ahnung was mich da geritten hat. Forum Kloppe

Und ja, du hattest die Gestalt irreduzibler Polynome über Z2 schon erwähnt. Also wäre das Minimalpolynom einer Körpererweiterung vom Grad 2 dann $\begin{eqnarray*} x^2+x+1 \end{eqnarray*}$ . Dann gib t es aber kein a mit L=K(a) und b=a² in K.

Was wenn nun der Körper nicht die Charakteristik 2 hat. Wie muss ich dann argumentieren? Eben haben wir ja spezielles Wissen über Z2 bzw. die Gestalt der irrd. Polynome benutzt. Kann x²+c nun irreduzibel über den anderen Körpern sein? Oder ist das schon die falsche Frage?

20.04.2011, 14:09

Mystic

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]
Ne, das ist schon genau die richtige Frage... Augenzwinkern

Für das Polynom $\begin{eqnarray*} x^2+px+q \in K[x] \end{eqnarray*}$ , wobei jetzt K ein Körper mit $\begin{eqnarray*} char(K) \ne 2 \end{eqnarray*}$ ist, führt das schnurstracks zur Frage nach den Nullstellen in K, da eine Zerlegung notwendigerweise eine solche in Linearfaktoren ist, und ob diese in K liegen.... Entweder ist nun die Diskriminante des Polynoms, nämlich

$\begin{eqnarray*} D= p^2-4q \end{eqnarray*}$

ein Quadrat in K, dann ist das Polynom reduzibel, oder nicht, dann kommt man mit $\begin{eqnarray*} b = \sqrt D \end{eqnarray*}$ auf eine quadratische Erweiterung, in der das Polynom dann in Linearfaktoren zerfällt...

20.04.2011, 15:35

tigerbine

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Original von Mystic
Für das Polynom $\begin{eqnarray*} x^2+px+q \in K[x] \end{eqnarray*}$ , wobei jetzt K ein Körper mit $\begin{eqnarray*} char(K) \ne 2 \end{eqnarray*}$ ist, führt das schnurstracks zur Frage nach den Nullstellen in K, da eine Zerlegung notwendigerweise eine solche in Linearfaktoren ist, und ob diese in K liegen

Hey, nun kommen temporär Begriffe, die ich kenne.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} D= p^2-4q \end{eqnarray*}$

Wenn dies ein Quadrat in K ist, dann kann das zug. Polynom aber nicht das Minimalpolynom von a sein. Denn a ist Nullstelle und als reduzibles normiertes Polynom vom Grad zerfällt es dann in Linearfaktoren. Und a müsste selbst schon in K liegen.

Somit ist D kein Quadrat in K. Den Weg mit der Ergänzung komme ich nicht zu Ende

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q &&= x^2+px+(0.5p)^2-(0.5p)^2+q<br /> &&=(x+0.5p)^2-4(p^2-4q)<br /> &&=(x+0.5p)^2-(2\sqrt{D})^2 \end{eqnarray*}$

Ich werde aber die Wurzel nicht los... verwirrt

20.04.2011, 16:11

Mystic

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
$\begin{eqnarray*} x^2+px+q &&= x^2+px+(0.5p)^2-(0.5p)^2+q<br /> &&=(x+0.5p)^2-4(p^2-4q)<br /> &&=(x+0.5p)^2-(2\sqrt{D})^2 \end{eqnarray*}$

Ich werde aber die Wurzel nicht los... verwirrt

Du hast dich da leicht verrechnet, richtig ist

$\begin{eqnarray*} m(x):=x^2+px+q= (x+p/2)^2 - (\sqrt{D}/2)^2 \end{eqnarray*}$

Man sieht also, dieses Polynom hat genau dann keine Nullstellen in K (und ist damit irreduzibel), wenn $\begin{eqnarray*} \sqrt D \end{eqnarray*}$ in K nicht existiert... Statt $\begin{eqnarray*} K[\alpha] \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ ein der beiden Nullstellen

$\begin{eqnarray*} p/2 \pm \sqrt D/2 \end{eqnarray*}$

von m(x) ist (mit eben m(x) als Minimalpolynom!), ist es aber einfacher, dann gleich $\begin{eqnarray*} K[\sqrt D] \end{eqnarray*}$ zu nehmen, um auf die gleiche quadratische Körpererweiterung zu kommen, und voilà, wir sind am Ziel... Augenzwinkern

Zusammenfassend kann man also sagen: Für Körper K mit $\begin{eqnarray*} char(K) \ne 2 \end{eqnarray*}$ können alle quadratische Körpererweiterungen schon durch Adjunktion von Quadratwurzeln, welche nicht in K liegen, errreicht werden, also fast genau das, was du oben schon vermutest hattest... Augenzwinkern

20.04.2011, 17:04

tigerbine

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Original von Mystic
Du hast dich da leicht verrechnet, richtig ist

$\begin{eqnarray*} m(x):=x^2+px+q= (x+p/2)^2 - (\sqrt{D}/2) \end{eqnarray*}$

Fehlt da nicht ein ()² am Ende... Ah, du hast editiert, oder?

Zitat:

ist es aber einfacher, dann gleich $\begin{eqnarray*} K[\sqrt D] \end{eqnarray*}$ zu nehmen, um auf die gleiche quadratische Körpererweiterung zu kommen, und voilà, wir sind am Ziel...

So, also warum ist das denn nun gleich... [Ich weiß generell noch nicht, wann sei Erweiterungen gleich sind verwirrt

]

Es ist $\begin{eqnarray*} 1, \sqrt{D} \end{eqnarray*}$ eine Basis der Körpererweiterung und $\begin{eqnarray*} \alpha_{1,2}=p/2 \pm \sqrt D/2 \end{eqnarray*}$ besitzen eine Darstellung bzgl. dieser Basis. Sind also auch in der Körpererweiterung. Könnte man nun einen Basiswechsel machen, denn 1 und $\begin{eqnarray*} \alpha_1 \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig?

Generell muß ich für Körperisimorphismen ja mehr zeigen, da hänge ich noch in einem anderen Thread. Vielleicht bin ich aber auch wieder zu kompliziert... Aber wie gesagt, ich weiß noch nicht, wann 2 Erweiterungen gleich sind.

20.04.2011, 17:18

Mystic

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Generell muß ich für Körperisimorphismen ja mehr zeigen, da hänge ich noch in einem anderen Thread. Vielleicht bin ich aber auch wieder zu kompliziert... Aber wie gesagt, ich weiß noch nicht, wann 2 Erweiterungen gleich sind.

Ne, es geht hier nicht um Körperisomorphismen, sondern um eine echte Gleichheit von Vektorräumen... Die zeigt am besten so, dass man zwei Basen ausgeht, wobei sich hier natürlich $\begin{eqnarray*} \{1,\alpha \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt D \} \end{eqnarray*}$ anbieten, und zeigt, dass jedes Element der einen Basis als Linearkombination der anderen darstellbar ist... Das sollte aber nach dem schon erstellten Formeln trivial sein und in einem Algebrabuch würde an dieser Stelle vermutlich nicht mehr viel mehr stehen als ein lapidares "Wie man leicht sieht..." Augenzwinkern

Denk daran, was ich an anderer Stelle über den Tausendfüssler geschrieben habe... Die Moral von jener Geschichte ist: Man kann die Dinge auch komplizierter machen als sie sind, indem man sie in unnötig viele Einzelkomponenten aufsplittet... Wink

20.04.2011, 17:39

tigerbine

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Original von Mystic
...sondern um eine echte Gleichheit von Vektorräumen... Die zeigt am besten so, dass man zwei Basen ausgeht, wobei sich hier natürlich $\begin{eqnarray*} \{1,\alpha \} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{1,\sqrt D \} \end{eqnarray*}$ anbieten, und zeigt, dass jedes Element der einen Basis als Linearkombination der anderen darstellbar ist... Das sollte aber nach dem schon erstellten Formeln trivial sein und in einem Algebrabuch würde an dieser Stelle vermutlich nicht mehr viel mehr stehen als ein lapidares "Wie man leicht sieht..." Augenzwinkern

Ok, also das mit den Basen bekomme ich hin. Augenzwinkern

Zitat:

..dann kommt man mit $\begin{eqnarray*} b = \sqrt D \end{eqnarray*}$ auf eine quadratische Erweiterung, in der das Polynom dann in Linearfaktoren zerfällt...

Das ist aber nicht das b aus der Aufgabenstellung... wäre dort nun $\begin{eqnarray*} a = \sqrt D \end{eqnarray*}$ ?

20.04.2011, 18:04

Mystic

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

Zitat:

Original von tigerbine
Das ist aber nicht das b aus der Aufgabenstellung... wäre dort nun $\begin{eqnarray*} a = \sqrt D \end{eqnarray*}$ ?

Ja, sorry, $\begin{eqnarray*} a^2=b=D \end{eqnarray*}$ wäre konsistent mit den obigen Bezeichnungen gewesen ... unglücklich

20.04.2011, 18:05

tigerbine

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RE: quadr. Körpererweiterung [ÜAB]
Du wolltest mich nur testen. Augenzwinkern

Wir gehen also den ganzen Weg direkt mit diesem a.

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quadr. Körpererweiterung [ÜAB]

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