Minimalpolynom 1 [ÜAB]

19.04.2011, 22:38

tigerbine

Minimalpolynom 1 [ÜAB]

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{2+\sqrt[3]{2}} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

(i) Bestimme das Minimalpolynom m von a über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und den Grad $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a):\mathbb Q \end{eqnarray*}$ .

(ii) Gib alle Nullstellen von f in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ an. Liegen die alle in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) \end{eqnarray*}$ ?

Erste Aufgabe von diesem Typ. Wie geht man das an? Naiv hätte ich nun die Wurzeln "weggemacht".

$\begin{eqnarray*} a=\sqrt{2+\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a^2=2+\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

usw. bis am Ende dasteht:

$\begin{eqnarray*} a^6-6a^4+12a^2-10=0 \end{eqnarray*}$

Die Koeffizienten sind nun alle in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ und a ist Nullstelle des entsprechenden Polynoms in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(x) \end{eqnarray*}$ . Es ist auch normiert. Nur ist es auch von kleinstmöglichem Grad? Könnte ich es hier mal mit Eisenstein versuchen?

2teilt -6 und 12 und 10, aber nicht 1

4 teilt nicht -10

=> irreduzibel in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q[x] \end{eqnarray*}$

=> Minimalpolynom

======================

Also generell müssen die Nullstellen des Minimalpolynoms nicht alle in K(a) liegen. 2 Nullstellen kennt man schon, Polynomdivision liefert Polynom Grad 4 mit geraden Potenzen. Substitution und Lösungsformel, Resubstitution liefert quadr. Polynome wieder Lösungsformel.

Das wäre mal der Plan. Wie sehe ich dann, ob diese Nullstellen auch in K(a) liegen? Eine Basis von K(a) ist $\begin{eqnarray*} 1,a,...,a^5 \end{eqnarray*}$ . Sieht man da schnell ein, ob die Nullstellen des Minimalpolynoms so darstellbar sind?

Oder war der Plan schon Murks. Big Laugh

20.04.2011, 09:01

Elvis

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Minimalpolynom stimmt. $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a)\subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ , die nichtreellen Nullstellen liegen nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Q(a) \end{eqnarray*}$ .

20.04.2011, 11:46

tigerbine

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Hallo,

das mit nicht reell wird ja dann immer so sein. Was ist mit den reellen? Liegen die immer drin?

20.04.2011, 14:09

juffo-wup

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Gemäß der Darstellung $\begin{eqnarray*} a=\sqrt{2+\sqrt[3]{2}} \end{eqnarray*}$ kann man im Polynom $\begin{eqnarray*} x^6-6x^4+12x^2-10 \end{eqnarray*}$ erst $\begin{eqnarray*} y=x^2 \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} z=y-2 \end{eqnarray*}$ substituieren.
Dann kommt $\begin{eqnarray*} z^3-2 \end{eqnarray*}$ heraus. (Warum ist das auch ohne Nachrechnen klar?) Die Nullstellen dieses Polynoms sind ja bekannt, genau eine ist reell. Die Nullstellen des Minimalpolynoms von a ergeben sich daraus eindeutig. Wenn man noch benutzt, dass die Wurzel aus einer komplexen Zahl, die nicht reell ist, nicht reell sein kann, sieht man, dass nur 2 der Nullstellen reell sind und damit ist auch klar, was $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a)\cap \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist.

20.04.2011, 14:25

tigerbine

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So, ich hatte das gerade zu Fuß gemacht. Strafarbeit...

$\begin{eqnarray*} x^6-6x^4+12x^2-10 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y:=x^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^3-6y^2+12y-10 \end{eqnarray*}$

Will man dort die Bekannte Nullstelle einsetzen, so muss man die auch "substituieren".

$\begin{eqnarray*} a_y:=a^2=2+\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

Macht man nun

$\begin{eqnarray*} z:=y-2 \end{eqnarray*}$

so muss

$\begin{eqnarray*} a_z=\sqrt[3]{2} \end{eqnarray*}$

Nullstelle sein. Da das Polynom Grad 3 hat:

$\begin{eqnarray*} z^3-2 \end{eqnarray*}$

Ungerader Grad => mind. eine reelle Nullstelle. Die anderen beiden sind hier aber komplex [Kann mit Polarkoordinaten aufmalen]

Nun die Schritte wieder Rückwärts:

reelle Nullstelle r>0=> r+2 ist reell => $\begin{eqnarray*} \sqrt{r+2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{r+2} \end{eqnarray*}$ sind reell.

komplexe Nullstelle q => q+2 ist komplex => $\begin{eqnarray*} \sqrt{q+2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{q+2} \end{eqnarray*}$ sind komplex.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \mathbb{Q}(a)\cap \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Q(a)?

20.04.2011, 14:43

juffo-wup

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Die Begründung und das Ergebnis stimmen. Das mit der Nicht-Realität der 3. Wurzeln und Quadratwurzeln kann man natürlich auch noch 'algebraischer' machen..aber muss man auch nicht. Big Laugh

edit: Wenn man übrigens die Wurzelzeichen in dem Ausdruck für a als "eine Wurzel nehmen" anstatt als "die eindeutige reelle Wurzel nehmen" interpretiert, dann sind alle a, die sich so darstellen lassen, gerade die Nullstellen dieses Minimalpolynoms.

20.04.2011, 14:52

tigerbine

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Ok, danke. Wink

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