Krankheitsproblem

06.12.2006, 15:11

piloan

Krankheitsproblem

hi
hier ist eine weitere schoene aufgabe :-)

Das Blut von n Personen wird auf einen bestimmten Krankheitserreger untersucht, und man nimmt an,dass die Personen unabhaengig voneinander mit der Wk p in ( 0,1) infiziert werden.
Jetzt gibt es 2 Methoden zur Auswahl

A: Jede Probe wird einzeln untersucht
B: Die Hälften von je k Proben werden zusammengeschuettet und dann untersucht. Bei einem positven Testergebnis werden die Proben einzeln untersucht

Annahme damit es leichter ist n=km

1.) Bestimmen sie die erwartete Anzahl der noetigen Untersuchungen bei den beiden Methoden.
2.)Wann ist die Methode B vorzuziehen ?..(ungleichung fuer k)
3.)Bestimmen sie fuer n=1000 und p=0,001 den optimalen Wert von k und die in diesem Bsp erwartete Anzahl von Untersuchungen.

Die Frage ist nun bei 1.) was soll ich hier untersuchen ? was heisst noetige Versuche ....untersuche ich bis einer infiziert ist oder was soll ich machen ...
wenn ich das weiss koennte ich schon ma anfangen Augenzwinkern

06.12.2006, 16:07

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

weiter soll ich noch fuer eine aufgabe bestimmen: (wollte keinen neues thema eroeffnen )

$\begin{eqnarray*} P(Y\geq \frac{1}{2}|Y\geq X^2)=\frac{P(Y\geq \frac{1}{2},Y\geq X^2)}{P(Y\geq X^2)} \end{eqnarray*}$ wie komm ich da im zaehler weiter ?

06.12.2006, 20:26

Crappo

Auf diesen Beitrag antworten »

Da ich die Aufgaben auch hab:

Also bei der a) sollen wir die erwartete Anzahl an nötigen Untersuchungen bei den beiden verschiedenen Methoden bestimmen (abhändig von p, k und n), durch Methode B geht das Ganze ja (wenn mans geschickt anstellt) schneller, weil man dann mehrere Proben zusammen schmeißt und wenn diese dann alle negativ sind, nur insgesamt einen Test für die Gruppe machen muss, statt jeden Einzelnen zu testen.

Dazu überlegst du dir, wie wahrscheinlich es is, dass eine Gruppe von k Personen komplett gesund is oder das eben mindestens einer krank is. Dann multiplizierst du die beiden Wahrscheinlichkeiten mit den dann nötigen Proben und hast den Erwartungswert für die nötigen Proben einer Gruppe. Von da kannst du dann auf die Gesamtzahl an Proben schließen.
Zumindest hab ich das so gemacht, gibt noch mindestens eine andere Möglichkeit, sich das herzuleiten.
Hilft dir das schon irgendwie weiter? Hab das nur mal eben so hingekliert, bin grad zu hungrig, um das vernünftig zu formulieren, habs außerdem keine Ahnung von diesem Formeleditor.
Wenn du die a) jedenfalls ersma hast, also das Verfahren verstanden hast, sind die anderen Teile nich mehr wirklich schwierig.
Bei der anderen Aufgabe bin ich auch nich wirklich weiter als du Augenzwinkern

06.12.2006, 21:58

Marvin42

Auf diesen Beitrag antworten »

für deinen 2.Teil fehlen ein paar Angaben. Vielleicht hilft Dir weiter, dass das "," wohl für $\begin{eqnarray*} \cap \end{eqnarray*}$ steht (sieht man in älteren Büchern manchmal). Demnach steht da ja nix anderes als die allgeimein gültige Beziehung:

$\begin{eqnarray*} P(A\mid B) =\frac{P(A \cap B)}{P(B)} \end{eqnarray*}$ . Hierfür könntest dann scheiben:

$\begin{eqnarray*} P(A\mid B) =\frac{P(B \mid A) \cdot P(A) }{P(B)} \end{eqnarray*}$ .

06.12.2006, 22:13

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu 1.: Bluttest beim Bund

Zitat:

Original von piloan
$\begin{eqnarray*} P(Y\geq \frac{1}{2}|Y\geq X^2)=\frac{P(Y\geq \frac{1}{2},Y\geq X^2)}{P(Y\geq X^2)} \end{eqnarray*}$ wie komm ich da im zaehler weiter ?

Indem du erstmal verrätst, was $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ darstellen!!! Ansonsten gibt es nämlich höchstens Abschätzungen nach oben und unten, aber keine Vereinfachungen. unglücklich

07.12.2006, 09:39

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

X und Y sind gleichverteilte ZV auf 0,1... Augenzwinkern

07.12.2006, 12:04

Auf diesen Beitrag antworten »

Und vermutlich unabhängig? In dem Fall ist der Vektor $\begin{eqnarray*} (X,Y) \end{eqnarray*}$ stetig gleichverteilt auf dem Quadrat $\begin{eqnarray*} [0,1]^2 \end{eqnarray*}$ , d.h., besitzt die zweidimensionale Dichte

$\begin{eqnarray*} f_{X,Y}(x,y) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\; 0\leq x\leq 1, 0\leq y\leq 1\\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

Und dann berechnet man ganz normal

$\begin{eqnarray*} P((X,Y)\in A) = \iint\limits_{(x,y)\in A} ~ f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x ~ \dd y\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

In deinem Fall hier sieht das Integrationsgebiet eben so aus:

$\begin{eqnarray*} A = \{ (x,y)\in \mathbb{R}^2 \bigm| y\geq \frac{1}{2},\, y\geq x^2 \} \end{eqnarray*}$

Also ist dann (*) ein ganz normales Riemann-Integral:

$\begin{eqnarray*} P((X,Y)\in A) = \int\limits_{y=\frac{1}{2}}^1 ~ \int\limits_{x=0}^{\sqrt{y}} ~ 1 ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Bevor du Fragen zur letzten Formel stellst: Mal dir das Integrationsgebiet $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ erstmal auf. Augenzwinkern

07.12.2006, 15:42

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

hehe ...haette hier nicht nachgefragt Augenzwinkern

...
kannst du mir noch mal bei folgendem ansatz helfen ....(den rest hab ich verstanden )

$\begin{eqnarray*} E(X^2)=\sum_{n=1}^\infty ~(2n-1) P(X\geq n) \end{eqnarray*}$

weiss zwar wie der Erwartungswert definiert ist, aber hier muss es doch einen Kniff geben ...komme mit der normalen Formel nicht ansatzweise auf das erwuenschte...

07.12.2006, 17:13

Auf diesen Beitrag antworten »

Das gilt aber nur für Zufallsgrößen, die auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ konzentriert sind, d.h. nur natürliche Zahlen als Werte annehmen. Dann ist

$\begin{eqnarray*} E(X^2) = \sum_{n=1}^{\infty} n^2\cdot P(X=n)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

Nun gilt für solche auf $\begin{eqnarray*} \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ konzentrierten Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} P(X\geq n) = P(X=n) + P(X\geq n+1) \end{eqnarray*}$ , oder umgeformt $\begin{eqnarray*} P(X=n) = P(X\geq n) - P(X\geq n+1) \end{eqnarray*}$ . Nun setz das mal in (*) ein...

Du siehst, es geht doch alles mit "normalen" Formeln. smile

07.12.2006, 17:59

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

hi

$\begin{eqnarray*} E(X^2)=\sum_{n=1}^\infty~ n^2(P(X\geq n) - P(X\geq n+1)) \end{eqnarray*}$

aber das bringt mir doch nicht wirklich was ?!: unglücklich

07.12.2006, 19:10

Auf diesen Beitrag antworten »

Soso. Vielleicht schreibst du mal den Anfang der Reihe auf, also so die ersten drei, vier Glieder. Vielleicht geht dir da ein Licht auf.

08.12.2006, 04:03

piloan

Auf diesen Beitrag antworten »

komm ich nicht hinter unglücklich

08.12.2006, 07:55

Auf diesen Beitrag antworten »

Also ehrlich, das muss ich schon als Faulheit abbuchen: Forum Kloppe

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty~ n^2(P(X\geq n) - P(X\geq n+1)) &=& 1^2\cdot P(X\geq 1) - 1^2\cdot P(X\geq 2) + 2^2\cdot P(X\geq 2) - 2^2\cdot P(X\geq 3) + 3^2\cdot P(X\geq 3) - 3^2\cdot P(X\geq 4) + \cdots\\ &=& 1^2\cdot P(X\geq 1) + (2^2-1^2)\cdot P(X\geq 2) + (3^2-2^2)\cdot P(X\geq 3) + (4^2-3^2) \cdot P(X\geq 4) + \cdots \end{eqnarray*}$

Neue Frage »

Antworten »

Krankheitsproblem

Verwandte Themen