Abbildungsmatrix

20.04.2011, 13:46

ratennachzahlen

Abbildungsmatrix

Meine Frage:
Es sei K ein Körper, $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und $\begin{eqnarray*} \phi \in End(V) \end{eqnarray*}$ ein nilpotenter Endomorphismus, d.h. es gibt ein $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \phi^{n} = 0 \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray*} \phi^{n} = 0 \end{eqnarray*}$ .

Hinweis: Eine Möglichkeit für einen Beweis: Zeigen Sie zunächst, dass eine Basis von V existiert, bezüglich der die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ die Gestalt einer strikten oberen Dreiecksmatrix hat.

Meine Ideen:
Beweisidee: Angenommen, ich hätte den Beweis befolgt. Die Abbildungsmatrix von $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ ist ja eine nxn-Matrix. Da diese Matrix eine strikte obere Dreiecksmatrix ist, wird sie bei n-maligen multiplizieren sicherlich die Nullmatrix ergeben. Damit wäre der Beweis fertig.

Problem: Wie setze ich den Hinweis in die Realität um? Mir fehlt da komplett der Ansatz...

20.04.2011, 17:53

ratennachzahlen

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RE: Abbildungsmatrix
*bump*

... niemand?

21.04.2011, 00:27

Reksilat

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RE: Abbildungsmatrix
Willst Du unbedingt den Hinweis befolgen?
Ich würde einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}(\phi)\neq \{0\} \end{eqnarray*}$ ist. Ähnlich sieht man dann $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}(\phi^j)\subset {\rm Ker}(\phi^{j+1}) \end{eqnarray*}$ für j=1,... – also eine echte Inklusion und nie Gleichheit.
Der Kern wird immer größer und spätestens nach n Schritten ist es der ganze Raum.

Gruß,
Reksilat.

21.04.2011, 10:54

ratennachzahlen

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RE: Abbildungsmatrix

Zitat:

Original von Reksilat
Willst Du unbedingt den Hinweis befolgen?
Ich würde einfach zeigen, dass $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}(\phi)\neq \{0\} \end{eqnarray*}$ ist. Ähnlich sieht man dann $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}(\phi^j)\subset {\rm Ker}(\phi^{j+1}) \end{eqnarray*}$ für j=1,... – also eine echte Inklusion und nie Gleichheit.
Der Kern wird immer größer und spätestens nach n Schritten ist es der ganze Raum.

Gruß,
Reksilat.

Danke für die Idee, sie scheint tatsächlich besser, als der Hinweis! Allerdings ist mir nicht völlig klar, wieso immer gilt $\begin{eqnarray*} {\rm Ker}(\phi^j)\subset {\rm Ker}(\phi^{j+1}) \end{eqnarray*}$ . Einerseits ist es logisch, andererseits verstehe ich es jedoch nicht genau genug, um den Beweis zu führen.

Kannst du darauf noch einmal ein bisschen genauer eingehen?

21.04.2011, 12:13

Reksilat

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RE: Abbildungsmatrix
Du kannst zeigen, dass, wenn einmal die Gleichheit zwischen den Kernen gilt (und somit auch Gleichheit zwischen den Bildern), die Reihe der Kerne automatisch konstant wird und sich auch für höhere Werte von j nicht mehr verändert. Das kann für eine nilpotente Abbildung natürlich nicht sein.

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