Extremwertaufgabe?

20.04.2011, 14:38

rap1

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Extremwertaufgabe?

Ein oben offenes zylindrisches Gefäß mit der Höhe h wird unten mit einem Drehkegel erweitert. Wie sind die Abmessungen zu wählen, wenn das Gesamtgefäß V = 1l fassen soll, die Kegelmantellinien 6 cm lang und unter dem Winkel $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ =30° geneigt sind? Wie viel Blech braucht man zur Herstellung? Entwickle eine allgmeine Formel für die Bestimmung der Höhe h des Zylinders.

M=2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ r*h + rs $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

V= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ r² *h

s= $\begin{eqnarray*} \sqrt{h²+r²} \end{eqnarray*}$ -> h= $\begin{eqnarray*} \sqrt{s²-r²} \end{eqnarray*}$

V= r² $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \sqrt{s²-r²} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

20.04.2011, 14:53

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Die Angabe für den Mantel stimmt. Beim Volumen solltest du aber Zylinder und Kegel berücksichtigen.

Bisher sehe ich nur das Zylindervolumen. Bei diesem darfst du aber nicht das h ersetzen, so wie du es gemacht hast.

Weiterhin ist die Mantellinie des Kegels (s) 6 cm lang, nicht der Umfang.

smile

smile

20.04.2011, 15:09

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
M=2 $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ r*h + rs $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

V= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ r² *h + $\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$ r²h $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$

warum geht das mit der formel: s= $\begin{eqnarray*} \sqrt{h²+r²} \end{eqnarray*}$ nicht?

20.04.2011, 15:15

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Weil du das h des Zylinders damit ersetzt hast. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Du solltest beim Rechnen zwischen hz und hk unterscheiden. hz ist fest, hk sowie r nicht. edit: Es ist umgekehrt: hk und r lassen sich als erstes berechnen, hz ergibt sich anschließend. Da habe ich den Einleitungstext zunächst anders verstanden.

Wie kannst du den angegebenen Winkel nutzen?

smile

smile

20.04.2011, 15:24

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
ich weiß nicht wie ich den winkel benutzen kann, ich habe ja keine seiten gegeben!

d.h. ich habe 3 variablen zum ausrechnen aber nur 2 gleichungen?

20.04.2011, 15:25

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Doch, das habe ich doch gesagt: Du hast s gegeben. smile

smile

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20.04.2011, 15:28

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
aber ist "s" nicht die länge vom Boden wie auf meinem Bild?

20.04.2011, 15:33

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Ich habe dir s mal eingezeichnet:
[attach]19176[/attach]

20.04.2011, 15:44

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
ok d.h. a=6 cm und b=6 cm

Also:

$\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ = 180°-30°-30°=120°

c= a* sin $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ / sin alpha
c= 6* sin 120° / sin 30°
c=10,39

r= c/2
r= 5,2

20.04.2011, 15:46

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Ok, so kann man es machen Freude

Freude

. Schreibe aber besser: $\begin{eqnarray*} c = 6\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und was ist denn dieses c, das du errechnet hast?

edit: Ja, in deinem edit hast du es schon erklärt.

Und auch für r schreibe lieber: $\begin{eqnarray*} r = 3\sqrt{3} \end{eqnarray*}$ . Du verwendest nämlich gleich r². Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2011, 15:48

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
c = durchmesser und c/2 = der radius

20.04.2011, 15:48

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Gut. Kannst du jetzt die Höhe des Kegels berechnen? smile

smile

20.04.2011, 15:53

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
ja mit V=r²h*pi

h= $\begin{eqnarray*} \frac{V}{r²*pi} \end{eqnarray*}$

h= $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r²*pi} \end{eqnarray*}$

h= 0,06 cm

richtig?

20.04.2011, 15:58

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Nein, denn das Volumen bezieht sich doch auf den ganzen Körper. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Warum nimmst du nicht den Pythagoras, wie du es weiter oben beschrieben hast?

Zitat:

h= $\begin{eqnarray*} \sqrt{s²-r²} \end{eqnarray*}$

Da wir uns im kegel befinden, darfst du diese Gleichung anwenden. smile

smile

20.04.2011, 16:02

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
h=2,99 und das ist jetzt die Höhe des Kegels?

dann brauch ich jetzt nur mehr den Mantel ausrechnen oder?
M=pi*2r(hz)+rs*pi
M=195,71 cm

20.04.2011, 16:07

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Jetzt hast du gerundet und das Ergebnis ist ungenau geworden...

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{s²-r²} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{36-27} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = \sqrt{9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h = 3cm \end{eqnarray*}$

Wenn du den Mantel ausrechnest, woher weißt du denn die Höhe des Zylinders? verwirrt

verwirrt

20.04.2011, 17:38

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
ok, da habe ich wohl was falsch verstanden, das h=3 cm ist nicht vom zylinder sondern vom dreieck.

V= pi*r²h + 1/3r²*pi*hk

h= $\begin{eqnarray*} \frac{V-1/3r²pi*hk}{pi*r²} \end{eqnarray*}$

da passt etwas nicht, h=0

und dann den Mantel ausrechnen oder?

Sonst muss ich hier nichts mehr berechnen oder?

20.04.2011, 18:45

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Deine Formelumstellung ist nicht ganz korrekt. Warum klammerst du nicht zunächst mal pi·r² aus und teilst anschließend durch den Ausdruck? Dann hast du schon hz frei stehen...

Ja, wenn du die Formel nach hz umgestellt und den Wert für hz berechnet hast, muss noch die Mantelfläche des Körpers berechnet werden.

smile

smile

20.04.2011, 18:58

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
V= pi*r²h + 1/3r²*pi*hk

V= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ *r² (h+hk*1/3)

$\begin{eqnarray*} \frac{V} {pi*r²} \end{eqnarray*}$ = (h+hk*1/3)

$\begin{eqnarray*} \frac{V-hk*1/3} {pi*r²} \end{eqnarray*}$ =h

irgendwas passt hier nicht

20.04.2011, 19:02

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?

Zitat:

Original von rap1
V= pi*r²h + 1/3r²*pi*hk

V= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ *r² (h+hk*1/3)

$\begin{eqnarray*} \frac{V} {pi*r²} \end{eqnarray*}$ = (h+hk*1/3)

Bis dahin stimmt es. Freude

Freude

20.04.2011, 19:06

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
$\begin{eqnarray*} \frac{V}{pi*r²} \end{eqnarray*}$ -hk*1/3=h

richtig?

20.04.2011, 19:09

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
So stimmt es. Freude

Freude

Das wäre die gesuchte allgeme Formel. Jetzt kannst du auch die konkrete Höhe des Zylinders in unserer Aufgabe ermitteln.

smile

smile

20.04.2011, 19:11

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{pi*27} \end{eqnarray*}$ -3*1/3=h

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{pi*27} \end{eqnarray*}$ -1 =h

-0,988 = h

20.04.2011, 19:41

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Achte mal auf deine Größenordnungen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

20.04.2011, 19:53

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
1 l=1 dm³= 100cm³

h=0,18

20.04.2011, 20:02

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
1 l = 1 dm³= 1000 cm³ smile

smile

edit: Zu deinem edit: Das h stimmt so leider nicht. Und welche Einheit soll es - davon abgesehen - haben?

20.04.2011, 20:06

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
ok
h=10,79 cm

zählt diese Aufgabe zu den Extremwertaufgaben oder zu Trigonometrie?

danke für die Hilfe

20.04.2011, 20:14

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Hmm, stimmt wieder nicht. Machen wir das mal zusammen.

$\begin{eqnarray*} h_z = \frac{V}{pi*r²} - \frac{1}{3} h_k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} h_z = \frac{1000}{pi*27} - \frac{1}{3} *3 \end{eqnarray*}$

Hast du das auch so?

Dies ist keine Extremwertaufgabe, weil wir nicht ableiten müssen, um einen Extremwert zu berechnen. Weiterhin würde ich es nicht unbedingt in die Trigonometrie packen, weil die die kleine Winkelrechnung eher Nebensache war und sogar ohne Trigonometrie lösbar war.
Die Aufgabe gehört eindeutig zur Stereometrie (Körperberechnung).

smile

smile

20.04.2011, 20:22

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
ja

V=11,78-1

20.04.2011, 20:25

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Oh, sorry, du hast recht. Ich hatte mich vertan.

Die Höhe des Zylinders beträgt in der Tat 10,789 cm. Freude

Freude

20.04.2011, 20:27

rap1

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RE: Extremwertaufgabe?
Super, danke für die Hilfe!

Werde noch den Mantel ausrechnen und dann ist es genug für heute.

20.04.2011, 20:33

sulo

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RE: Extremwertaufgabe?
Gern geschehen. Wink

Wink

Tipp für den Mantel: Er ist etwas größer als 450 cm²

smile

smile

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