Konjugation in A_4

20.04.2011, 15:46

GLn

Konjugation in A_4

Es sei $\begin{eqnarray*} S_{4} \end{eqnarray*}$ die Gruppe aller Permutationen einer vierelmeentigen Menge und $\begin{eqnarray*} A_{4} \end{eqnarray*}$ die Untergruppe der Permutationen, deren Vorzeichen Positiv ist.

Zu Zeigen: Alle Permutationen vom Typ (2,2) sind in $\begin{eqnarray*} A_{4} \end{eqnarray*}$ konjugiert.

Mein Problem:

Nehmen wir einmal die Permutationen a := (1 2) (3 4) und b := (1 3) (2 4).
Ich habe ein konjugiertes Element c bestimmt, nach der Methode, die Tigerbine letzte Woche gezeigt hat ( matheboard.de/thread.php?threadid=452832 ) [Link posten geht nicht, daher mal so verkürzt getestet]

Mein c ist mit dieser Methode (1 3 2 4). Probe zeigt: Es ist ein konjugiertes Element.

Das c liegt aber nicht in $\begin{eqnarray*} A_{4} \end{eqnarray*}$ , da es das Vorzeichen -1 hat..

Frage:

Gibt es mehrere konjugierte Elemente ?
Wenn ja - wie bestimme ich ein passendes? Die Methode von letzter Woche ( matheboard.de/thread.php?threadid=452832 ) ist ja so wie ich das sehe eindeutig..

20.04.2011, 17:03

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konjugation in A_4

Zitat:

Original von GLn
Ich habe ein konjugiertes Element c bestimmt, nach der Methode, die Tigerbine letzte Woche gezeigt hat ( matheboard.de/thread.php?threadid=452832 ) [Link posten geht nicht, daher mal so verkürzt getestet]

Mein c ist mit dieser Methode (1 3 2 4). Probe zeigt: Es ist ein konjugiertes Element.

Das c liegt aber nicht in $\begin{eqnarray*} A_{4} \end{eqnarray*}$ , da es das Vorzeichen -1 hat..

Was hast du womit konjugiert? Es gibt keine 'konjugierten Elemente' an sich, sondern nur erstens die Beziehung 'zueinander konjugiert' zwischen 2 Elementen x,y und zweitens das mit einem z Konjugierte von x.

In der Aufgabe ist zu zeigen, dass je 2 Elemente von diesem Zykeltyp zueinander konjugiert sind.

Wenn du ein Element von $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ mit einem Element aus $\begin{eqnarray*} S_4 \end{eqnarray*}$ konjugierst, wird immer wieder ein Element aus $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ herauskommen, das lässt sich allgemein zeigen. (Stichwort : Normalteiler)
Du musst dich also irgendwie verrechnet haben.

20.04.2011, 17:26

GLn

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konjugation in A_4
Ich habe ein c bestimmt, sodass b = c * a * c^-1

Ich sehe nicht, wo ich mich verrechnet hab :/

Wenn Vorzeichen(c) != +1 sein soll, muss es in S_4 ja zwangsläufig ein 3-Zykel werden.

Aber ich weiß halt nicht, wie ich das bestimme

20.04.2011, 17:30

GLn

Auf diesen Beitrag antworten »

Wobei, wenn ich weiß, dass es ein 3-Zykel ist (Mag das vllt jemand bestätigen), dann probiere ich einfach alle durch, sind ja nur 8

20.04.2011, 17:47

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Konjugation in A_4

Zitat:

Original von GLn
Wenn Vorzeichen(c) != +1 sein soll, muss es in S_4 ja zwangsläufig ein 3-Zykel werden.

Aber ich weiß halt nicht, wie ich das bestimme

Das Signum von c kann beliebig sein, aber in der Gleichung $\begin{eqnarray*} b=cac^{-1} \end{eqnarray*}$ haben a und b das gleiche Signum.

Probiere doch mal Konjugieren mit 2-Zykeln.

20.04.2011, 18:06

GLn

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun sehe ich es auch, ich lasse einfach die Zahlen fest, die bei a und b an der selben Stelle sind, mit (2 3) klappt es auch, vielen Dank.

21.04.2011, 11:04

GLn

Auf diesen Beitrag antworten »

Im Nachhinein sehe ich: 2-Zykel sind doch gar nicht aus A_4.
(Wir sollen ja die Konjugiertheit in A_4 zeigen, dass bedeutet explizit ja, dass unser konjugiertes Element aus dieser Menge sein soll..

Also doch mit den 3-Zykeln mal testen ?

21.04.2011, 11:52

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von GLn
Also doch mit den 3-Zykeln mal testen ?

Angesichts der Tatsache, dass die $\begin{eqnarray*} A_4 \end{eqnarray*}$ zu zwei Dritteln(!) aus Dreierzyklen besteht und Elemente des restlichen Drittels i.allg. ungeeignet sind, da sie im Zentralisator liegen und daher für sie die Konjugation die Identität ist, eine eher seltsame Frage... geschockt

21.04.2011, 16:05

juffo-wup

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von GLn
Im Nachhinein sehe ich: 2-Zykel sind doch gar nicht aus A_4.

Ah Entschuldigung, ich hatte die Vorraussetzung übersehen. Allerdings, warum probierst du nicht einfach ein paar Möglichkeiten durch, so viele gibt es ja nicht.

Neue Frage »

Antworten »

Konjugation in A_4

Verwandte Themen