Lagrange?

20.04.2011, 16:31

April_die_zweite

Lagrange?

Meine Frage:
Berechnen Sie die Extremwerte
f(x; y) = xy
Nebenbedingung x + y = 5

Meine Ideen:
Meine Idee ist es dafür die Lagrange-Funktion zu verwenden.
Damit ergibt sich:
L(x,y,Lambda)=xy + Lambda(x+y-5)

Dann bildet man die Ableitungen:
nach x : y + Lambda
nach y : x + Lambda
nach Lambda : x + y -5

Dann müsste man doch die erste Ableitung = 0 setzen und nach x auflösen. Es gibt jedoch kein x.

Hat die Aufgabe keine Extrema oder habe ich etwas falsch gemacht?

20.04.2011, 16:41

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Lagrange?

Zitat:

Original von April_die_zweite
Dann müsste man doch die erste Ableitung = 0 setzen und nach x auflösen. Es gibt jedoch kein x.

Hat die Aufgabe keine Extrema oder habe ich etwas falsch gemacht?

Was redest du da? verwirrt

Du musst das Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} y +\lambda=0 \\x+\lambda=0 \\x+y=5 \end{eqnarray*}$

auflösen, das ist alles... Und es ist lösbar, glaub mir... Augenzwinkern

21.04.2011, 11:21

April_die_zweite

Auf diesen Beitrag antworten »

Dann habe ich für y = 2,5 x = 2,5 und Lambda = -2,5 und dann kommt normalerweise ein Teil mit der Hessematrix, um das hinreichende Kriterium zu prüfen oder nicht? Dafür muss mann die zweite Ableitung nach x und y bilden oder? Die sind hier aber 0.

21.04.2011, 11:25

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke, du verwechselst da was.... Die Hessematrix kommt nur bei unrestringierten Aufgaben aus der nichtlinearen Optimierung zum Einsatz... Lehrer

21.04.2011, 17:21

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt zwar ein Pendant, so dass das von Mystic angesprochene dort einen Spezialfall bildet, aber ich denke nicht, dass das angewendet werden soll.

Zitat:

Berechnen Sie die Extremwerte
f(x; y) = xy
Nebenbedingung x + y = 5

Es war hier Lagrange gar nicht gefordert. Man könnte sich bei so schöner Nebenbedingung ja auch eine Alternative überlegen. Die hat Mystic imho auch schon öfter mal ins Spiel gebracht. Augenzwinkern

21.04.2011, 17:39

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Sorry, was da stand, ist dann ja obsolet...

21.04.2011, 18:00

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht sollten wir uns, wenn man Lagrange nimmt, noch Gedanken machen, wie das Ergebnis zu interpretieren ist. [imho geht das gerade bei BWL Aufgaben unter, dass man eigentlich nur notwendige Kriterien hat, weil es sich meist in Wohlgefallen auflöst verwirrt

Hier ist die zulässige Menge aber z.B. nicht kompakt.]

Mein Link bezieht sich auf Minima, wir haben ja gesehen (?), dass Maximum raus gekommen ist. Das macht ja nichts, betrachten wir eben -f. Dann ist

$\begin{eqnarray*} L(x,\mu)=-x_1x_2 + \mu(x_1+x_2-5) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla_x L(x,\mu)=\begin{pmatrix}-x_2 \\-x_1 \end{pmatrix} + \mu\begin{pmatrix}1 \\1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-x_2+\mu \\-x_1+\mu \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \nabla_{xx} L^2(x,\mu)=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-1 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und damit
$\begin{eqnarray*} \nabla_{xx} L^2(x^*,\mu^*)=\begin{pmatrix}0 & -1 \\-1 &0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese "d" aus dem Link müssen folgendes erfüllen:

$\begin{eqnarray*} \nabla h(x^*)^Td=0 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} d_1+d_2=0 \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} (d_1,-d_1)\begin{pmatrix}0 & -1 \\-1 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}d_1\\-d_1 \end{pmatrix}=(d_1,-d_1)\begin{pmatrix}d_1\\-d_1 \end{pmatrix}=d_1^2+d_1^2=2d_1^2 \end{eqnarray*}$

Wegen d ungleich Nullvektor ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Wie hättest du geprüft, Mystic?

21.04.2011, 18:08

Mystic

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von tigerbine
Wegen d ungleich Nullvektor ist die hinreichende Bedingung erfüllt. Wie hättest du geprüft, Mystic?

Ich hätte eigentlich hier nur an die triviale schon oben von dir vorgeschlagenen Variante gedacht, dass man die Variable y mithilfe der Nebenbedingung eliminiert...

Ansonsten möchte ich mich hier nicht auf's Glatteis begeben, ich denke, da kennst du dich eindeutig besser aus... Augenzwinkern

21.04.2011, 18:46

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht meldet sich April ja noch mal, auch was die "gewünschte" Lösung von der Uni ist.

Wink

Neue Frage »

Antworten »

Lagrange?

Verwandte Themen