konstante Summe, maximales Produkt

20.04.2011, 17:18

dutchman79

konstante Summe, maximales Produkt

Hi allen,

Ich komme nicht weiter bei folgender Aufgabe:

Bestimme drei Zahlen (>0) so, dass bei konstanter Summe das Produkt maximal wird.

Mein Ansatz: Meine Produktfunktion abhängig von den drei Zahlen x,y,z ist definiert als
$\begin{eqnarray*} f(x,y,z)= x\cdot y\cdot z \end{eqnarray*}$

Jetzt müsste ich dann die Nebenbedingung einbauen daß die Summer Konstant ist.

Jemand von euch eine Idee ?

20.04.2011, 17:48

tigerbine

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RE: konstante Summe, maximales Produkt

Zitat:

Jetzt müsste ich dann die Nebenbedingung einbauen daß die Summer Konstant ist.

Dann mach das doch einfach. Augenzwinkern

20.04.2011, 20:42

dutchman79

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Tja, $\begin{eqnarray*} x+ y+ z= const= a \end{eqnarray*}$

Und nu ?

20.04.2011, 20:54

HAL 9000

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Sofern du nicht auf eine Analysis-Lösung fixiert bist, würde ich den Weg über AMGM empfehlen.

21.04.2011, 08:38

dutchman79

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Dann bräuchte ich aber ein bisschen Hilfe, weil ich nicht verstehe wie ich über diesen Weg dahin komme ... Hammer

21.04.2011, 13:04

mYthos

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Oder wie wäre es mit dem Ansatz nach Lagrange?

$\begin{eqnarray*} L(x,y,z, \lambda) = xyz - \lambda(x+y+z-a) \end{eqnarray*}$

Damit erhalten wir in aller Kürze die Werte für x, y, z, womit man AMGM bestätigen kann.

mY+

21.04.2011, 13:17

dutchman79

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Okay, so habe ich es auch weiter probiert.

Die Laplacegleichung nach den Variablen abgeleitet und gleich Null gesetzt.

Bekomme dan zB für x:

$\begin{eqnarray*} x_{1/2} = \frac{d\pm \sqrt{d^{2}-8*\lambda } }{2} \end{eqnarray*}$

Bis so weit ok ?

21.04.2011, 13:28

mYthos

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Welche Laplace-Gleichung? Und was ist d? Oder meinst du gar nicht mich? verwirrt

mY+

21.04.2011, 14:37

dutchman79

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Oeps, war mit 2 Themen gleichzeitig beschäftigt.

Mein d ist bei dir das a, also die Summenkonstante.

Lagrangegleichung war gemeint ....

21.04.2011, 16:52

mYthos

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Deine Lösung stimmt nicht. Wie hast du das erreicht?
Es sollte sich ganz einfach ergeben:

$\begin{eqnarray*} x = y = z = \sqrt {\lambda} = \frac a 3 \end{eqnarray*}$

mY+

21.04.2011, 17:56

HAL 9000

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Wie gesehen führt Lagrange schnell zur Lösung (obwohl man streng genommen noch die Art des Extremums [Minimum/Maximum] diskutieren müsste), aber da ich es nun mal angesprochen hatte, hier zum Vergleich die Variante über AMGM:

Diese Ungleichung besagt $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{xyz} \leq \frac{x+y+z}{3} \end{eqnarray*}$ .

Gemäß Nebenbedingung steht rechts die Konstante $\begin{eqnarray*} \frac{a}{3} \end{eqnarray*}$ , womit die linke Seite $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{xyz} \end{eqnarray*}$ maximal so groß werden kann. AMGM besagt außerdem, dass Gleichheit (und damit Erreichen dieses Maximum $\begin{eqnarray*} \frac{a}{3} \end{eqnarray*}$ ) dann und nur dann erreicht wird, wenn $\begin{eqnarray*} x=y=z \end{eqnarray*}$ ist, was dann wegen der Nebenbedingung $\begin{eqnarray*} x=y=z = \frac{a}{3} \end{eqnarray*}$ bedeutet.

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