Teilbarkeit (Zahlentheorie)

20.04.2011, 18:33

Matheversteher

Teilbarkeit (Zahlentheorie)

Guten Abend Matheboarder Wink

ich überlege gerade, wie ich folgende aufgaben lösen soll, bzw wie ich die lösungen formal korrekt aufschreibe.
[attach]19179[/attach]

also zum ersten: da steht 2² teilt n. dies müsste der fall sein, wenn es eine zahl gibt mit

$\begin{eqnarray*} 4 \cdot x=n \end{eqnarray*}$ . für $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb N \end{eqnarray*}$
ich verstehe jetzt aber nicht was ich da "rechnen" soll (da mir das sehr einfach vorkommt diese lösung gehe ich mal davon aus es ist falsch verwirrt

)?

ich hoffe ihr könnt mir da einen klapps auf den hinterkopf geben, vielen dank euch smile

20.04.2011, 18:39

HAL 9000

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Die Frage ist, ob das drei Einzelaufgaben sind (so hast du es wohl aufgefasst) oder nur eine, bei der alle drei Bedingungen zugleich gelten sollen? Zumindest erinnere ich mich, letztere Interpretation letztens hier im Board gesehen zu haben. verwirrt

Es ist also anzunehmen, dass du diesmal hier als Mathemissversteher tätig warst.

20.04.2011, 22:51

Mulder

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Zitat:

Original von HAL 9000
Zumindest erinnere ich mich, letztere Interpretation letztens hier im Board gesehen zu haben.

Ich schätze mal, du meinst diesen Thread. Das, was du "letztere Interpretation" genannt hast, liegt ja nahe, denn jede der drei Teilaufgaben für sich betrachtet wäre ziemlich trivial. Augenzwinkern

21.04.2011, 11:59

Nubler

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nehm an, dass die zahl n+2 durch 16 teilbar ist.
kann die zahl n also durch 4 teilbar sein?

21.04.2011, 13:21

Matheversteher

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hey leute, Wink

danke für die viele regen hilfestellungen. habe mir den andere thread und den dazugehörigen link durchgelesen. und mich mich dann mal an der an deren aufgabe ( a) Gebe eine natürliche Zahl x an, so dass (3^2) teilt x, (4^2) teilt x+1 und (5^2) teilt x+2 gilt) versucht, bin aber leider nicht auf die lösungen gekommen.

habe es mit hilfe des chinesischen restsatzes versucht, wie er in wikipedia steht (da in meinem script dieser nicht erwähnt ist).

also bitte schlachtet mich hier nicht aber ich denke wir fangen dann mal ganz von vorne an. dazu würde ich gerne mit meiner aufgabe weiter machen. hier sollte sich doch dann auch der chinesische restsatz zu anwenden lassen, allerdings dann ohne lösung, oder?

also wie von euch festgestellt, sind es drei bedingungen: (und nicht wie ich zu begin vermutete jeweils eine)

I) 4*a = n
$\begin{eqnarray*} n\equiv 0 \mod 4 \end{eqnarray*}$

II) 9*b = n+1
$\begin{eqnarray*} n\equiv 1 \mod 9 \end{eqnarray*}$

III) 16*c = n+2
$\begin{eqnarray*} n\equiv 2 \mod 16 \end{eqnarray*}$

bei den kongruenzen bin ich mir aber absolut nicht sicher ob die so richtig sind unglücklich

unter der annahme, dass diese so richtig wären, könnte ich doch den restsatz an wenden oder?

p.s. wie mache ich eigentlich lehrzeichen bei der nutzung von latex hier?

edit: leerzeichen ist gefunden ("lehrzeichen" Hammer

)

21.04.2011, 13:34

René Gruber

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Zitat:

Original von Matheversteher
wie mache ich eigentlich lehrzeichen bei der nutzung von latex hier?

Als Smilie müsste es das hier sein: Lehrer

Zugegeben, das ist wohl eher das Lehrerzeichen. Augenzwinkern

21.04.2011, 13:48

Mulder

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Für Leerzeichen (bzw. Abstände) gibt's verschiedene Möglichkeiten. Backslash geht (je mehr du nimmst, desto größer wird der Abstand, aber zwischen jedem Backslash musst du ein Leerzeichen lassen, sonst gibt's Zeilenumbrüche und die sind unschön, also \ \ \ etc.), oder für größere Abstände direkt dann auch \quad oder \qquad beispielsweise.

Wobei sich das im Falle der Kongruenz auch von allein erledigt, wenn man statt a mod n einfach gleich a \mod n (oder \pmod n) schreibt, dann wird automatisch ein Abstand eingebaut.

code:
1:	a \equiv b \mod n

liefert

$\begin{eqnarray*} a \equiv b \mod n \end{eqnarray*}$

21.04.2011, 14:02

Matheversteher

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alles klar bzgl des leerzeichens Freude

ab jetzt nur noch zum thema smile

also ich frage mich imme noch ob die kongruenzen

Zitat:

I) 4*a = n
$\begin{eqnarray*} n\equiv 0 \mod 4 \end{eqnarray*}$

II) 9*b = n+1
$\begin{eqnarray*} n\equiv 1 \mod 9 \end{eqnarray*}$

III) 16*c = n+2
$\begin{eqnarray*} n\equiv 2 \mod 16 \end{eqnarray*}$

korrekt sind.

21.04.2011, 16:52

HAL 9000

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Die erste ja, die anderen beiden nein: Richtig ist

$\begin{eqnarray*} n+1\equiv 0 \bmod 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n+2\equiv 0 \bmod 16 \end{eqnarray*}$

oder umgeschrieben

$\begin{eqnarray*} n\equiv -1 \equiv 8 \bmod 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n\equiv -2 \equiv 14 \bmod 16 \end{eqnarray*}$ .

22.04.2011, 12:07

Mystic

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Oder man lässt die zweite Kongruenz überhaupt weg und ändert bei der dritten den Modul von 16 auf 4, also

$\begin{eqnarray*} n \equiv 0 \mod 4\\ n \equiv 2 \mod 4 \end{eqnarray*}$

dann stimmt's auch wieder, wenngleich diese Bedingungen dann nur mehr notwendig sind... Augenzwinkern

22.04.2011, 17:37

Matheversteher

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hey

vielen dank!
also wenn ich es mache wie Mystic es mir vorgeschlagen hat, dann merke ich ja beim aufstellen der "bedingungen" I und III dass es nicht funktioniert, denn dann müsste ja

n = 4 * a und n = 4 * b + 2 sein. was aber nicht geht.

gut ich wollte dann zum spaß das ganze mit dem chinesischen restsatz versuchen (ähnliche aufgabe hier).

meine bedingungen wären dann

$\begin{eqnarray*} n\equiv 0 \mod 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \equiv 8 \bmod 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} n \equiv 14 \bmod 16 \end{eqnarray*}$ .

allerdings scheiter ich dann bereits an der darstellung, da die moduln 4 und 16 nicht teilerfremd sind und beide nicht den gleichen rest haben (0 und 14) was mache ich nun?

Zitat:

Zitat aus Wikipedia
Auch im Fall, dass die Moduln nicht teilerfremd sind, existiert manchmal eine Lösung. Die genaue Bedingung lautet: Eine Lösung der simultanen Kongruenz existiert genau dann, wenn für alle $\begin{eqnarray*} i\neq j \end{eqnarray*}$ gilt:
$\begin{eqnarray*} a_i \equiv a_j \mod \end{eqnarray*}$ ggT(mi,mj).
Alle Lösungen sind dann kongruent modulo dem kgV der mi.

Eine simultane Kongruenz lässt sich im Falle der Existenz einer Lösung z.B. durch sukzessive Substitution lösen, auch wenn die Moduln nicht teilerfremd sind.

das müsste das sein was ich hier anwenden muss, ich aber nicht genau verstehe wie es funktioniert.

ich danke euch bishierhin für eure hilfe Freude

22.04.2011, 17:51

Mystic

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Naja, man sieht dann eben auch wieder, dass die 1. und 3. Bedingung inkompatibel sind... Wir haben hier

$\begin{eqnarray*} a_1=0, \ n_1=4,\ a_3=-2, \ n_3=16 \end{eqnarray*}$

was dann auf die Bedingung

$\begin{eqnarray*} a_1 \equiv a_3 \mod ggT(n_1,n_3) \end{eqnarray*}$

also nach Einsetzen auf

$\begin{eqnarray*} 0 \equiv -2 \mod 4 \end{eqnarray*}$

führt, was eben hier nicht erfüllt ist...

22.04.2011, 18:40

Matheversteher

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mhhh das müsstest du mir evtl noch mal etwas genauer erklären, dass die beiden bedingungen nicht miteinander kompatibel sind.

also ich vermute mal, weil hier

Zitat:

$\begin{eqnarray*} 0 \equiv -2 \mod 4 \end{eqnarray*}$

auf der linken und rechten seite des kongruenzzeichens zwei unterschiedliche zahlen stehen, nämlich 0 und -2.

aber ich könnte (rein hypothetisch) weiter rechnen, wenn ich sowohl links als auch rechts eine -2 oder eine 0 stehen hätte. etwa so:

$\begin{eqnarray*} 0 \equiv 0 \mod 4 \end{eqnarray*}$
oder so
$\begin{eqnarray*} -2 \equiv -2 \mod 4 \end{eqnarray*}$

dann wäre würde es so weiter gehen

$\begin{eqnarray*} n \equiv -2 \mod 4 \end{eqnarray*}$

oder verstehe ich da was falsch?

22.04.2011, 18:52

Mystic

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Du kennst schon die Definition

$\begin{eqnarray*} a \equiv b \mod m :\Leftrightarrow m|a-b \end{eqnarray*}$

hoffe ich? verwirrt

... Da brauchst ja dann nur mehr a=0, b=-2, m= 4 einsetzen und siehst, dass das nicht geht...

22.04.2011, 19:23

Matheversteher

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} a \equiv b \mod m :\Leftrightarrow m|a-b \end{eqnarray*}$

tut mir leid war mir entfallen (oder nicht nachgedacht). steht aufjedenfall in meinem script geschockt

gut dann hätte ich

(a-b)/m = x <--> a-b = m * x

mit
a=0
b= -2
m = 4 --> 0 - (-2) = 4*x <--> 2 = 4x

so und das ist nicht lösbar für x € N okee jetzt sehe ich es. ich hoffe jetzt ist es soweit richtig und ich habe es geschafft (mit deiner/eurer hilfe!) Tanzen

ich danke dir für die zeit, die du investiert hast Gott

p.s. dennoch steige ich durch den modulo"kram" i-wie noch nicht so richtig durch (was die andere aufgabe zeigt zu der du mir eben geantwortet hast im link, ich hoffe du kannst mir das auch noch erklären Mystic, wie ich da auf die 2223 komme.)

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