Unendliche abelsche Gruppen

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Ini1988 Auf diesen Beitrag antworten »
Unendliche abelsche Gruppen
Hallo!

Ich soll ein Referat zum Thema Beispiele unendlicher abelscher Gruppen halten. Unter anderem soll ich das Beispiel der inneren direkten Summe erklären. Leider verstehe ich nicht, warum die innere dierekte Summe von unendlichen abelschen Gruppen wieder eine unendliche abelsche Gruppe sein soll.
Könnte mir da jemand weiterhelfen?

Oder ist es vielleicht deshalb so, weil jede Untergruppe eine abelsche Gruppe ist und wenn ich die Untergruppen eben in der inneren direkten Summe "zusammenfüge" die Eigenschaften erhalten bleiben?

Grüßle Ini
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Unendliche abelsche Gruppen
Schreib' doch mal auf, wie man die Addition in einer inneren direkten Summe definiert. Was sieht man daraus?
Ini1988 Auf diesen Beitrag antworten »

also die definition für eine innere direkte summe von abelschen gruppen lautet:
bei einer familie von untergruppen (Ui) der Gruppe G, heißt G die innere direkte Summe, von Ui, falls jedes g aus G eindeutig aus der Summe endlich vieler ui aus Ui gebildet werden kann. Das heißt:
1. Für alle g aus G gibt es eindeutige ui aus Ui sodass gilt: g = Summe ui
2. G = +Ui.
das heißt meine untergruppen Ui müssen disjunkt sein, G muss die dierekte summe der untergruppen sein und dann muss man noch jedes g aus G eindeutig mit den ui's aus den Untergruppen darstellen können. Aber wieso ist nun diese summe wieder eine untergruppe?
(es gibt auch noch definitionen der inneren direkten summe mit isomorphismen und zwar: Ist Ui eine familie von Untergruppen in einer abelschen gruppe U, so sagt man, dass U die innre direkte summe der Ui ist, wenn die abbildung +: Ui -> U mit ui -> Summe ui ein isomorphismus ist. und wieso ist dann die summe eine gruppe?)
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ini1988
das heißt meine untergruppen Ui müssen disjunkt sein


Nein, Untergruppen der selben Gruppe können niemals disjunkt sein! (Warum?)

Die Untergruppen müssen komplementär sein, d.h. ihr Schnitt ist die triviale Gruppe mit genau einem Element .

Zitat:
Original von Ini1988
Aber wieso ist nun diese summe wieder eine untergruppe?


Man sagt in der von Dir beschriebenen Situation , dass die innere direkte Summe der Untergruppen ist. Die Zerlegung in die ist also eine Aussage über die Struktur von , wenn wir bereits wissen, dass eine Gruppe vorliegt. Die Sprechweise der inneren direkten Summe ist gerade so gemacht, dass man eben schon davon ausgeht, eine Gruppe zu haben. Zum Beispiel ist die direkte Summe der - und -Achse:

Daher ist per Definition klar, dass eine innere direkte Summe eine Gruppe liefert.

Etwas anders sieht es vielleicht mit der äußeren direkten Summe aus. Hier muss man durchaus erstmal nachrechnen, dass dies wieder eine Gruppe liefert. Das ist aber auch nicht allzu schwer und eine gute Übungsaufgabe.

Edit: Auch eine gute Übungsaufgabe ist es, zu zeigen, dass tatsächlich beide Definition der inneren direkten Summe äquivalent sind:
Zitat:
Original von Ini1988
(es gibt auch noch definitionen der inneren direkten summe mit isomorphismen und zwar: Ist Ui eine familie von Untergruppen in einer abelschen gruppe U, so sagt man, dass U die innre direkte summe der Ui ist, wenn die abbildung +: Ui -> U mit ui -> Summe ui ein isomorphismus ist. und wieso ist dann die summe eine gruppe?)


Edit 2: Mit der Äquivalenz beider Definitionen meinte ich: Es ist die innere direkte Summe einer Familie von Untergruppen genau dann, wenn sich jedes als Summe von Elementen aus den schreiben lässt.

Ob man mengentheoretisch mit einer inneren direkten Summe identifziert () oder die Situation nur als Isomorphismus notiert () ist für die eigentliche Sache nicht entscheidend. Mein obiges Beispiel ist z.B. mengentheoretisch die direkte Summe, da wirklich als Teilmengen in enthalten sind. Im Gegensatz dazu kann man aber auch schreiben. Es ist zwar mengentheoretisch nicht in enthalten, aber im Sinne abelscher Gruppen kann man mit durch einen Isomorphismus identifzieren. Da diese Identifikation ziemlich offensichtlich und unverfänglich ist, schreibt man üblicherweise auch .
Ini1988 Auf diesen Beitrag antworten »

danke für deine hilfe, ich glaube, dass ich verstanden habe was du meinst. dann sind aber innere und äußere direkte summe auch was ganz anderes, bei der äußeren direkten summe bekomm ich ja vektoren, die dann mit der punktweisen verknüpfung wieder eine abelsche gruppe bilden.

und bei der inneren ghe ich davon aus, dass es eine abelsche gruppe G gibt, die ich dann so zerlegen kann, dass die definition für die innere drekte summe gilt und das geht ja auch nicht immer oder?

hast du einen tipp wie ich die äquivalenz der beiden aussagen beweisen kann?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ini1988
dann sind aber innere und äußere direkte summe auch was ganz anderes, bei der äußeren direkten summe bekomm ich ja vektoren, die dann mit der punktweisen verknüpfung wieder eine abelsche gruppe bilden.


Naja, im endlichen Fall sind äußere und innere direkte Summe isomorph. Für abelsche Gruppen ist die äußere direkte Summe einer Familie definiert als alle -indizierten Tupel , die an allen bis auf endlichen vielen Stellen neutrale Elemente stehen haben. Man kann sich die Elemente also wie "Vektoren" von Elementen aus den vorstellen, wobei nur endlich viele Einträge "nichttrivial" sind.

Im Falle einer endlichen Indexmenge ist das direkte Produkt einfach gleich der äußeren direkten Summe. Die eindeutige Darstellbarkeit eines Elements in einer endlichen direkten Summe abelscher Gruppen als korrespondiert dann zu einer Darstellung als -Tupe (bis auf Reihenfolge der ).

Dies liefert einen Isomorphismus zwischen direkter Summe und direktem Produkt im endlichen Fall. Sprich: es ist für das Rechnen egal, ob Du ein Element eindeutig als Summe der oder als endliches Tupel der schreiben kannst.

Zitat:
Original von Ini1988
und bei der inneren ghe ich davon aus, dass es eine abelsche gruppe G gibt, die ich dann so zerlegen kann, dass die definition für die innere drekte summe gilt und das geht ja auch nicht immer oder?


Dazu steht wieder hier etwas. Im Artikel kannst Du die Begriffe Vektor- und Unterraum durch abelsche Gruppe und Untergruppe ersetzen.

Ähnlich kannst Du das direkte Produkt von Untergruppen einer nicht notwendig abelschen Gruppe immer bilden, aber dieses muss nicht isomorph zur ganzen Gruppe sein.

Zitat:
Original von Ini1988
hast du einen tipp wie ich die äquivalenz der beiden aussagen beweisen kann?


Betrachte erstmal den endlichen Fall .

Angenommen, diese Zerlegung von ist direkt und wir haben zwei Darstellungen . Was folgt dann?
 
 
Ini1988 Auf diesen Beitrag antworten »

dann ist doch u1 = u1' und u2 = u2' oder? weil die darstellung ja eindeutig sein muss?
zweiundvierzig Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist nicht die Voraussetzung, sondern die zu beweisende Behauptung. Augenzwinkern
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