uneigentliches Integral in Physik

21.04.2011, 01:49

Dopap

uneigentliches Integral in Physik

Im Buch "Physik in Beispielen" VEB Fachbuchverlag 1971
steht in der Lösung zur Herleitung des Gesetzes von Stefan-Boltzmann ( Stahlstärke von schwarzen Körpern )
das Integral

$\begin{eqnarray*} \int_0 ^\infty \frac {x^3}{e^x -1} \dd x =\frac {\pi ^4}{15} \end{eqnarray*}$

Ich finde dazu keine passende Integralregel und auch nichts Fertiges.

Hat jemand eine Idee ?

21.04.2011, 08:28

René Gruber

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Eine Möglichkeit ist z.B. die Interpretation

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{e^x-1} = x^3 \cdot \frac{e^{-x}}{1-e^{-x}} = x^3 \sum_{k=1}^{\infty} e^{-kx} \end{eqnarray*}$

als geometrische Reihe. Dann kann man $\begin{eqnarray*} \int\limits_0^{\infty} x^3 e^{-kx} ~ \dd x \end{eqnarray*}$ "normal" (also mit gefundener Stammfunktion) ausrechnen. Anschließend braucht mal allerdings die Kenntnis von

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^4} = \zeta(4) = \frac{\pi^4}{90} \end{eqnarray*}$ .

Es gibt sicher auch einen Weg, der ohne das auskommt - vielleicht über den Residuensatz? Da werden hier schon noch ein paar Varianten kommen. Augenzwinkern

21.04.2011, 11:19

Mystic

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Zitat:

Original von René Gruber
Da werden hier schon noch ein paar Varianten kommen. Augenzwinkern

Ich hätte das jetzt nur eine Spur allgemeiner formuliert, nämlich so

$\begin{eqnarray*} \Gamma(s) \zeta(s) = \int_0^\infty \frac {x^{s-1}}{e^x-1} \, dx \quad (Re(s)>1) \end{eqnarray*}$

Siehe dazu die epochale Arbeit von Riemann (auf Seite 1 unten)... Mit der dort gegebenen "Anleitung" (oder auch ohne) wird es dir sicher nicht schwer fallen, auch diesen allgemeineren Satz zu beweisen... Augenzwinkern

21.04.2011, 22:01

Dopap

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sehr gut, alles Bestens.

Vielen Dank an René Gruber. Freude

Als mehr der Physik Zugewandter sind mir deine Hinweise, die in ZETA(4) gipfeln, vollkommen ausreichend.
Dank auch an Mystik, der die volle mathematische Breitseite abgefeuert hat.

Ob ich die auch verdauen kann steht auf einem anderen Blatt. verwirrt

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ist ZETA() nicht die Funktion, die fast alle Nullstellen bei -1/2 hat?

21.04.2011, 22:27

Mystic

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Zitat:

Original von Dopap
Ob ich die auch verdauen kann steht auf einem anderen Blatt. verwirrt

Für's erste reicht es zu wissen, dass gilt

$\begin{eqnarray*} \Gamma(n)=(n-1)! \quad \forall n \in N\setminus \{0\} \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich nämlich der Wert deines Integrals für n=4 (oder allgemeiner für gerades n, da man für diese ganz allgemein eine Formel für $\begin{eqnarray*} \zeta(n) \end{eqnarray*}$ kennt)

Zitat:

Original von Dopap
ist ZETA() nicht die Funktion, die fast alle Nullstellen bei -1/2 hat?

Naja, zunächst sollte genauer der Realteil dieser Nullstellen bei +1/2 sein und auch "fast alle" ist jetzt ein bißchen übertrieben, zumal ja die sog. reellen Nullstellen, nämlich -2,-4,-6,-8,... sicher nicht diese Eigenschaft haben... Aber es stimmt schon, davon abgesehen kennt man bisher keine Ausnahme...

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