Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer

21.04.2011, 09:49

Kaschmujatsi

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Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer

Meine Frage:
Ein 8 ft hoher Zaun befindet sich auf ebenem Gelände und verläuft parallel zu einem hohen Bauwerk.
Wenn sich der Zaun 1 tf von dem Gebäude entfernt befindet, wie lang ist dann die kürzeste Leiter, die sich vom Boden über den Zaun zur Mauer des Bauwerkes erstreckt?

Meine Ideen:
Hauptbedingung ist wahrscheinlich der Pythagoras.
$\begin{eqnarray*} L=\sqrt{(y+1)^{2}+(x+8)^{2}} \end{eqnarray*}$
Nebenbedingung kann ich nicht wirklich erkennen ...

21.04.2011, 10:06

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
Stelle mittels des Strahlensatzes eine Beziehung zwischen y und x auf.

21.04.2011, 10:30

Kaschmujatsi

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1} =\frac{8}{x} \end{eqnarray*}$ ???

21.04.2011, 10:38

Drik

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dann würd ich nach x umformen und in die obere Gleichung einsetzen.
Um den Extremwert zu bekommen setzt man die erste Ableitung = 0, wodurch du dann eigentlich L rausbekommen muesstest. Jedoch bin ich gad unschlüssig, da es ja L_min wäre und nicht L_max

21.04.2011, 10:38

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1} =\frac{8}{x} \end{eqnarray*}$ ???

Nein. Wo sind denn ähnliche Dreiecke?

21.04.2011, 10:40

Kaschmujatsi

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer

Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
$\begin{eqnarray*} \frac{y}{1} =\frac{8}{x} \end{eqnarray*}$ ???

Nein. Wo sind denn ähnliche Dreiecke?

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{8} = \frac{y+1}{x+8} \end{eqnarray*}$ ?

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21.04.2011, 10:45

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
OK. Das kannst du jetzt nach x (oder in diesem Fall nach x+8) auflösen und in L einsetzen.

Übrigens reicht es, wenn du L² minimierst.

Und bitte keine Komplettzitate. Ich weiß ja, was ich geschrieben habe. smile

smile

21.04.2011, 10:54

Kaschmujatsi

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
Also jetzt mal nur nach x+8 umgestellt, kommt als Zwischenergebnis
$\begin{eqnarray*} x+8=\frac{8\cdot (y+1)}{y} \end{eqnarray*}$
Richtig?

Was meinst du mit L^2 minimieren?

21.04.2011, 11:10

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
Du suchst doch das Minimum von

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
$\begin{eqnarray*} L=\sqrt{(y+1)^{2}+(x+8)^{2}} \end{eqnarray*}$

Da ein Wurzelausdruck genau dann minimal wird, wenn der Term unter der Wurzel minimal wird, kannst du statt L eben auch L² minimieren. Das spart die Rechnerei mit der Wurzel.

Das (x+8) kannst du jetzt mit der rechten Seite deiner Gleichung ersetzen.

21.04.2011, 11:15

Kaschmujatsi

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
$\begin{eqnarray*} L^{2}= \left(y+1\right)^{2}+\left(\frac{8\cdot (y+1)}{y} \right)^{2} \end{eqnarray*}$ ?

Damit rechne ich jetzt y aus, nicht wahr?

21.04.2011, 11:23

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
Richtig. Du weißt auch wie?

21.04.2011, 11:26

Kaschmujatsi

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
Denk schon .. ich habe raus: $\begin{eqnarray*} y=-1 \end{eqnarray*}$

Edit:
kann aber nicht stimmen ... oder??

21.04.2011, 11:30

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
In der Tat. Ich würde schon einen positiven Wert erwarten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

21.04.2011, 11:32

Kaschmujatsi

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
hmm ... ich komme aber immer wieder auf -1 unglücklich

unglücklich

21.04.2011, 12:05

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
Ohne daß du deine Rechnung präsentiest, werden wir auf der Stelle treten.

21.04.2011, 12:12

Kaschmujatsi

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
Alle binomischen Formeln ausgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{2}+y+1+\frac{64\cdot (y^{2}+y+1)}{y^{2}} \end{eqnarray*}$
Vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{2}+65y+129 \end{eqnarray*}$

Soweit erst mal richtig?

21.04.2011, 12:45

klarsoweit

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RE: Extremwertaufgabe Leiter, Zaun, Mauer
Mit (y + 1)² hast du offensichtlich ein Problem.

21.04.2011, 14:38

Drik

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guck dir die erste binomische nochmal an, du hast eine sache vergessen.

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

22.04.2011, 10:09

Kaschmujatsi

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Ja hab meinen Fehler gesehen geschockt

geschockt

Vergess immer, dass ich das Produkt der beiden Glieder noch verdoppeln muss Big Laugh

Big Laugh

Binomische Formeln ausgeschrieben:
$\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{2}+2y+1+\frac{64\cdot (y^{2}+2y+1)}{y^{2}} \end{eqnarray*}$

Zähler ausmultipliziert:
$\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{2}+2y+1+\frac{64y^{2}+128y+64}{y^{2}} \end{eqnarray*}$

Vereinfacht:
$\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{2}+2y+65+\frac{128}{y}+\frac{64}{y^{2}} \end{eqnarray*}$

Mit y^2 multipliziert:
$\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{4}+2y^{3}+65y^{2}+128y+64 \end{eqnarray*}$

Mein Vorschlag an dieser Stelle wäre substituieren verwirrt

verwirrt

Edit: Würde aber nicht wirklich was bringen, weil ich dann bei der vorletzten Gleichung angekommen wäre

26.04.2011, 09:03

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Mit y^2 multipliziert:
$\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{4}+2y^{3}+65y^{2}+128y+64 \end{eqnarray*}$

Das ist schon deswegen Unfug, weil du dann links L²y² schreiben müßtest. Aber dann wäre deine Funktionsvariable auf beiden Seiten, was auch nicht sinnvoll ist.

Du hast doch mit $\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{2}+2y+65+\frac{128}{y}+\frac{64}{y^{2}} \end{eqnarray*}$ eine Funktion, von der nur noch das Minimum gesucht wird.

26.04.2011, 18:07

Kaschmujatsi

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Das Minimum liegt im Punkt -1,02|2,97.

27.04.2011, 08:29

klarsoweit

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Dir sollte aufgrund deines Ansatzes klar sein, daß y > 0 sein muß und daß somit deine Lösung Unfug ist.

30.04.2011, 10:23

Kaschmujatsi

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Ein anderes Minimum liegt im Punkt 3,97|124,25. Mehr gibt es glaub ich nicht.

01.05.2011, 23:15

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Das Minimum liegt im Punkt -1,02|2,97.

Zitat:

Original von klarsoweit
Dir sollte aufgrund deines Ansatzes klar sein, daß y > 0 sein muß und daß somit deine Lösung Unfug ist.

y ist doch hier positiv -> y=2,97

Punkte werden ja so angegeben P(x|y)

02.05.2011, 08:29

klarsoweit

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Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Ein anderes Minimum liegt im Punkt 3,97|124,25. Mehr gibt es glaub ich nicht.

Kannst du irgendwie erläutern, wie du auf die krumme Zahl 3,97 gekommen bist?

02.05.2011, 15:04

Drik

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überlege nochmal wann eine funktion einen xtremwert annimmmt. welche bedingung muss dann erfüllt sein.

so solltest du x ausrechnen

03.05.2011, 15:54

Kaschmujatsi

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Kaschmujatsi
Ein anderes Minimum liegt im Punkt 3,97|124,25. Mehr gibt es glaub ich nicht.

Kannst du irgendwie erläutern, wie du auf die krumme Zahl 3,97 gekommen bist?

Systemfehler vom TR Augenzwinkern

Augenzwinkern

Hab Aufgabe geschafft Big Laugh

Big Laugh

Leiter ist minimal 11,2 ft lang ^^

04.05.2011, 09:28

klarsoweit

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Hmm. Was hast du denn jetzt für y und für x definitiv raus?

04.05.2011, 16:02

Kaschmujatsi

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y=4
x ist ja unnötig für das Lösen der Aufgabe

04.05.2011, 16:06

klarsoweit

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Ja und nein. Wie bist du auf die Länge der Leiter gekommen?

04.05.2011, 19:08

Kaschmujatsi

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naja habe mir von der Funktion
$\begin{eqnarray*} L^{2}=y^{2}+2y+65+\frac{128}{y}+\frac{64}{y^{2}} \end{eqnarray*}$
das Minimum anzeigen lassen.

Das lag bei
$\begin{eqnarray*} T(4|125) \end{eqnarray*}$

habe dann die 4 in die Gleichung oben eingesetzt, es kam raus 125.
davon die Wurzel gezogen und Ergebnis war 11,2. Die Länge der Leiter.

05.05.2011, 08:10

klarsoweit

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Ja, ist richtig. Ich hatte mich an einer Stelle verrechnet. (Kommt auch mal vor. geschockt

geschockt

)

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