sigma-Algebra

21.04.2011, 12:42

Gast11022013

sigma-Algebra

Meine Frage:
Sei $\begin{eqnarray*} \Omega=\left\{1,2,3,4,5,6\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ sei eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra über $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie:

(i) Wenn $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ die Mengen $\begin{eqnarray*} \left\{1,2,3\right\}, \left\{2,4\right\}, \left\{3,5\right\} \end{eqnarray*}$ enthält, dann enthält $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ auch jede einelementige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ und somit ist $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

(ii) Die kleinste $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ , die die Mengen $\begin{eqnarray*} \left\{2,4\right\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left\{3,5\right\} \end{eqnarray*}$ enthält, besteht aus acht Elementen und enthält keine einelementige Teilmenge von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Zu (i):
Da $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ eine $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ - Algebra ist, sind neben den genannten Elementen auch deren Komplemente enthalten, das heißt:

$\begin{eqnarray*} \left\{1,2,3\right\}^{C}=\Omega\backslash \left\{1,2,3\right\}=\left\{4,5,6\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{2,4\right\}^{C}=\left\{1,3,5,6\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{3,5\right\}^{C}=\left\{1,2,4,6\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$

Weiter gilt, dass $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ durchschnittsstabil ist. Daraus folgt:

$\begin{eqnarray*} \left\{1,2,3\right\}\cap \left\{3,5\right\}=\left\{3\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{1,2,3\right\}\cap \left\{2,4\right\}=\left\{2\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{4,5,6\right\}\cap \left\{2,4\right\}=\left\{4\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{3,5\right\}\cap \left\{4,5,6\right\}=\left\{5\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{1,2,4,6\right\}\cap \left\{1,2,3\right\}\cap \left\{1,3,5,6\right\}=\left\{1\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left\{4,5,6\right\}\cap \left\{1,3,5,6\right\}\cap \left\{1,2,4,6\right\}=\left\{6\right\}\in \mathcal{F} \end{eqnarray*}$

Also sind alle einelementigen Teilmengen in $\begin{eqnarray*} \mathcal{F} \end{eqnarray*}$ enthalten und somit $\begin{eqnarray*} \mathcal{F}=\mathcal{P}(\Omega) \end{eqnarray*}$ .

Zu (ii):

Ich überlege noch, wie ich am besten vorgehen könnte.

Edit:
Das "Vorgehen" besteht einfach darin, dass man alle möglichen "Kombinationen" (Vereinigungen, Durchschnitte) durchgeht:

Klar ist, dass $\begin{eqnarray*} \left\{2,4\right\}, \left\{3,5\right\}, \left\{2,4\right\}^{C}, \left\{3,5\right\}^{C} \end{eqnarray*}$ enthalten sind. Somit sind schon 4 Elemente gefunden.

Dann gibt' s noch $\begin{eqnarray*} \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , die ebenfalls enthalten sind. Das wären schon 6 Elemente.

Als 7. und 8. Element habe ich dann:
$\begin{eqnarray*} \left\{2,4\right\}\cup \left\{3,5\right\}=\left\{2,3,4,5\right\} \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} \left\{1,3,5,6\right\}\cap \left\{1,2,4,6\right\}=\left\{1,6\right\} \end{eqnarray*}$ .

Alle anderen denkbaren Schnitte oder Vereinigungen liefern nur bereits genannte Mengen.

21.04.2011, 13:10

Math1986

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RE: sigma-Algebra
Stimmt soweit

21.04.2011, 13:52

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra
Super, danke.

Reicht bei (ii) die Begründung aus, dass alle anderen Kombinationen zu keinen "neuen" Elementen führen - oder muss man die tatsächlich alle anführen?

21.04.2011, 13:55

zweiundvierzig

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Ich denke, Deine oben angegebene explizite Lösung ist schon die Transparenteste. smile

21.04.2011, 14:13

Gast11022013

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Finde ich gut, dass Du das denkst. Augenzwinkern

Wieder eine Aufgabe weniger!

[Danke.]

21.04.2011, 14:31

Math1986

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
Reicht bei (ii) die Begründung aus, dass alle anderen Kombinationen zu keinen "neuen" Elementen führen

Würde mir nicht ausreichen, weil diese Begründung durch nichts bewiesen ist.

21.04.2011, 15:23

Gast11022013

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RE: sigma-Algebra
Wie kann man das denn "beweisen"?

Also doch alle Kombinationen hinschreiben und dadurch zeigen, dass die restlichen Möglichkeiten keine "neuen" Elemente liefern?

21.04.2011, 15:50

Math1986

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RE: sigma-Algebra

Zitat:

Original von Dennis2010
Also doch alle Kombinationen hinschreiben und dadurch zeigen, dass die restlichen Möglichkeiten keine "neuen" Elemente liefern?

Jap - so wie du es gemacht hast ist es okay

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