gleichung für funktion finden

21.04.2011, 13:44

gleichung für funktion finden

Meine Frage:
hallo zusammen!

es geht um die kurve die Hippias zur winkeldreiteilung gefunden hat, die quadratrix. Die Frage ist nun, wie sich diese Kurve in der F(x)= form anschreiben lässt um sie in ein zeichenprogramm zu schreiben.

http://www.ms.uky.edu/~carl/ma330/hippias/hippias2.html

hier ein link wie sie definiert ist

Meine Ideen:
die beiden bewegungen starten ja gleichzeitig und kommen gleichzeitig wieder an. Daher brauchen sie die selbe zeit für ihre bewegung. die gerade macht den geradlinigen weg a, und die rotierende macht einen viertel kreis mit dem radius a, daher a*pi/2.
v=s/t
und die zeit ist ja die gleiche daher (a/v)=(a*pi)/2v' wobei v verschieden ist. naja soweit bin ich, weiß aber jetzt nicht mehr weiter

danke im voraus

21.04.2011, 16:14

Lampe16

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Nimm die drei Gln.

$\begin{eqnarray*} x=L\cos(\frac{\pi}{2}(1-t)). \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=L\sin(\frac{\pi}{2}(1-t)) \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} y=1-t. \end{eqnarray*}$ .

Daraus kannst du $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ eliminieren.

21.04.2011, 18:35

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dann habe ich eine gleichung mit x und t...sind das meine zwei funktionswerte??

danke

21.04.2011, 18:55

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ich komm auf:

x=-(((sin((pi*(1-t))/2)/(cos((pi*(1-t))/2))-(1-t))

(sry ist etwas kompliziert da ich leider lateX nicht beherrsche)

21.04.2011, 22:26

Lampe16

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Das Ziel ist die Parameterform
$\begin{eqnarray*} x(t)=... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y(t)=... \end{eqnarray*}$ .

Um dahin zu kommen, setzt du meine 2. und 3. Gl. gleich und löst nach $\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ auf.

$\begin{eqnarray*} L \end{eqnarray*}$ setzt du in die 1. Gl. ein, womit $\begin{eqnarray*} x(t) \end{eqnarray*}$ dasteht. $\begin{eqnarray*} y(t) \end{eqnarray*}$ ist die unveränderte 3. Gl..

22.04.2011, 09:18

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x(t)=(cos((pi/2)(1-t)))/(sin((pi/2)(1-t))*(1-t))

1. was ist t...parameter?

2. wenn ich das geogebra sage(und das ist das Ziel), spuckt es etwas tangensähnliches aus(verständlich wegen sin/cos aber nicht das Ziel=))

danke

22.04.2011, 09:44

Leopold

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Hier findest du Darstellungen der Quadratrix:

$\begin{eqnarray*} \text{Polarform:} \ \ \ r = \frac{2a}{\pi} \cdot \frac{\varphi}{\sin \varphi} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \text{kartesische Form:} \ \ \ x = y \cdot \cot \frac{\pi y}{2a} \end{eqnarray*}$

22.04.2011, 10:30

Lampe16

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Zitat:

Original von JL
...
1. was ist t...parameter?
...

$\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ kannst du als (normierte) Zeit verstehen.

Der Formelplan für dein ...bra kann so aussehen:

$\begin{eqnarray*} L=\frac{1-t}{\sin\frac{\pi}{2}(1-t)} \end{eqnarray*}$ .............. Länge der drehenden Seite vom Drehpunkt bis zum Schnittpunkt
$\begin{eqnarray*} x=L\cos\frac{\pi}{2}(1-t) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=1-t \end{eqnarray*}$

Wenn du $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq t \leq 1 \end{eqnarray*}$ plottest, erhältst du die gesuchte Kurve.

edit:
Etwas schöner sieht der Plan so aus:
$\begin{eqnarray*} y=1-t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \alpha=\frac{\pi}{2}y \end{eqnarray*}$ ........... Winkel zwischen drehender Seite und Basis

$\begin{eqnarray*} L=\frac{y}{\sin \alpha} \end{eqnarray*}$ .............. Länge der drehenden Seite vom Drehpunkt bis zum Schnittpunkt

$\begin{eqnarray*} x=L\cos\alpha \end{eqnarray*}$

Die Kurve $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ bleibt dieselbe.

22.04.2011, 12:33

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@leopold: weißt du wie geogebra den cotangens versteht? cot kennt er nicht=)

@lampe: die lösung ist zwar elegant aber Geogebra versteht polarkoordinaten nicht oder?

Danke an beide

22.04.2011, 12:46

Lampe16

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Zitat:

Original von JL

@lampe: die lösung ist zwar elegant aber Geogebra versteht polarkoordinaten nicht oder?

x und y sind keine Polarkoordinaten sondern kartesische Koordinaten. Ich kenne Geogebra nicht. In Scilab (Freeware, empfehlenswert) sieht der ganze Formelplan so aus:

t=linspace(0,0.9999,100); // 100 Werte von 0 bis fast 1 (vermeidet Division durch null)
y=1-t; // 100 Werte
alf=%pi/2*y; // 100 Werte
L=y./sin(alf); // 100 Werte
x=L.*cos(alf); // 100 Werte
xdel(); plot(x,y)

22.04.2011, 14:24

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danke hast mir echt geholfen=)

LGJL

23.04.2011, 10:46

riwe

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der vollständigkeit halber in geogebra Augenzwinkern

c = Kurve[x, y, t, 0, 1]
x und y wie von Lampe definiert

und in excel

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