Hypergeometrische Verteilung

21.04.2011, 15:24

LurchiDerLurch

Hypergeometrische Verteilung

Meine Frage:
Hallo!

Also es geht um eine Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ich fasse das mal zusammen:

1000 Lose zum Preis von je 1e
davon
1 mit 50e Gewinn
3 mit 20e Gewinn
10 mit 10e Gewinn
14 mit 5e Gewinn

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit beim Kauf von 10 Losen weder Gewinn noch Verlust zu machen?

Meine Ideen:
Heist ja im Klartext, dass wenn ein Los 1e kostet und man bei 10 Losen weder Gewinn noch Verlust machen soll -> 10e Gewinn machen, da die Lose 10e gekostet haben.

Entweder mit 1x10e oder eben 2x5e Gewinnlose.

Das ganze wollte ich jetzt mit der hypergeometrischen Verteilung angehen.

$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{10}{1} \binom{990}{9} + \binom{14}{2} \binom{986}{8}}{\binom{1000}{10}} = 0,0995 \end{eqnarray*}$

Also die Wahrscheinlichkeit für 1 aus 10 bei den 1000 plus 2 aus 14 bei den 1000.
Der zweite Faktor lässt sich ja normalerweise immer einfach aus dem ersten und dem Nenner erschließen. Dachte ich. Zumindest gilt das anscheinend solange, bis man die Wahrscheinlichkeiten addiert. Denn in der Lösung steht geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{10}{1} \binom{972}{9} + \binom{14}{2} \binom{972}{8}}{\binom{1000}{10}} = 0,085 \end{eqnarray*}$

Wo kommt die 972 her? Aus 2x14? Wieso das? =(

Ist für mich leider nicht ersichtlich.

mfg

21.04.2011, 16:53

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

Stell doch mal den Gewinnplan auf:

1 x 49 Euro (das ist der Hauptgewinn 50 Euro - 1 Euro Einsatz)

3 x 19 Euro (20 Euro - 1 Euro)

10 x 9 Euro

14 x 4 Euro

972 x -1 Euro (972 = 1000 - 1 - 3 - 10 - 14 das ist die Anzahl der Nieten, und -1 ist der Einsatz)

Wenn ich unter 10 Losen auch nur einmal den Hauptgewinn ziehe, kann ich dann noch mit 0 Gewinn/Verlust aus dem Spiel gehen? Wohl kaum!

Wenn ich unter 10 Losen auch nur einmal ein 20-Euro-Gewinn Los ziehe, mache ich auch insgesamt einen Gewinn.

Welche Möglichkeiten gibt es also beim Kauf von 10 Losen weder mit Gewinn noch Verlust aus dem Spiel zu gehen ... Mir fallen da nur zwei Möglichkeiten ein. Und diese Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren wir ...

21.04.2011, 17:14

LurchiDerLurch

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von BarneyG.
Welche Möglichkeiten gibt es also beim Kauf von 10 Losen weder mit Gewinn noch Verlust aus dem Spiel zu gehen ... Mir fallen da nur zwei Möglichkeiten ein. Und diese Wahrscheinlichkeiten berechnen und addieren wir ...

Ja entweder mit 1x10e oder eben 2x5e Gewinnlose.

Das leuchtet mir schon ein smile

Aber ich dachte ich berechne das hiermit

$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{10}{1} \binom{990}{9} + \binom{14}{2} \binom{986}{8}}{\binom{1000}{10}} = 0,0995 \end{eqnarray*}$

Wie gesagt beide Wahrscheinlichkeiten getrennt und addieren. Allerdings steht das in der Lösung anders:

$\begin{eqnarray*} \frac{\binom{10}{1} \binom{972}{9} + \binom{14}{2} \binom{972}{8}}{\binom{1000}{10}} = 0,085 \end{eqnarray*}$

Warum jeweils 972 und nicht wie ich 990 und 986? unglücklich

mfg

21.04.2011, 17:38

BarneyG.

Auf diesen Beitrag antworten »

Na, ganz einfach, weil du im ersten Fall 1 Los aus den 10-Euro-Gewinnen benötigst und 9 Nieten. Und von denen gibt es nun mal 972.

Wenn du da 990 einsetzt, könntest du ja im dümmsten Fall sogar nochmal den Haupgewinn dabei haben ... smile

Wenn du es mathematisch exakt darstellen willst, dann verwendest du die Formel für die multinomial Verteilung

Anzahl der Möglichkeiten für

0 x 50-er-Los * 0 x 20-er-Los * 1 x 10 Los * 0 x 5-er-Los * 9 x Niete

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 3\\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 10\\ 1 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 14\\ 0 \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} 972\\ 9 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

21.04.2011, 17:59

LurchiDerLurch

Auf diesen Beitrag antworten »

Perfekt, habs kapiert.

Danke sehr! Hammer

Neue Frage »

Antworten »

Hypergeometrische Verteilung

Verwandte Themen