Relationen

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Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »
Relationen
Hallo,

inwiefern ist es zu verstehen, dass eine Relation eine Teilmenge des kartesischen Produktes ist ?

Eine Relation, so habe ich es verstanden, drückt aus, wie mathematische Objekte zueinander stehen. Dafür wird häufig die Tilde benutzt: ~; a ~ b

Auf Wikipedia fand ich dies:
[attach]19196[/attach]
Das fasse ich auf als
"R ist eine Teilmenge von mit ist definiert als die Menge, die alle Paare mit a aus A und b aus B enthält".

Doch warum ist die Relation dann eine Teilmenge dieses Produktes?

Pascal
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Element steht genau dann in Relation zu einem Element , wenn *Bedingung deiner Wahl* gilt.

Wenn nun zwei Elemente in Relation zueinander stehen, also ist, dann lässt sich das als Paar schreiben.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, deswegen sind wohl ALLE Paare (a,b) , die diese Eigenschaft besitzen, eine Teilmenge von ALLEN Paaren, die man irgendwie erzeugen kann?!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, es erfüllen nicht notwendigerweise alle Paare die erforderliche Bedingung, diese wären dann nicht in der Relation enthalten.

Einfaches Beispiel:

Auf definieren wir für zwei Elemente eine Relation durch: .

Somit wäre eine echte Teilmenge, z.B. ist aber
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke, ich glaube jetzt wird es klarer...

Diese Schreibweise ist mir noch ein bisschen neu, aber bedeutet wohl, dass die Relation durch "" symbolisiert wird und dies äquivalent zu ist, also immer dann gilt, wenn a>b.

"Auf " bedeut wohl, dass man nur ganze Zahlen in die Relation „einsetzen“ darf.

und die Relation ist dann eine echte Teilmenge, weil es ja auch Paare gibt die nicht Element der Relation sind (die Relation darf auch Menge genannt werden?).

Dann würde ja gelten (nach dem Beispiel): .
Also ist selber die Relation.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wir sagen "2 Elemente stehen zueinander in Relation genau dann, wenn größer als ist", in Zeichen umgesetzt: .

Wir betrachten diese Relation jetzt auf , wir könnten auch andere Mengen nehmen, würden sich z.B. auch eignen.

In dem Beispiel oben wäre , ja.

Eine Anmerkung zur Notation: ich persönlich kenne die Verwendung von nur bei Äquivalenzrelationen, verwendet ihr das in eurer Veranstaltung generell für alle Relationen?
 
 
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Eine Anmerkung zur Notation: ich persönlich kenne die Verwendung von nur bei Äquivalenzrelationen, verwendet ihr das in eurer Veranstaltung generell für alle Relationen?

Wir sind noch in der Einstiegsphase.
Der Begriff der Äquivalenzrelation und die Eigenschaften, die so eine Relation haben kann (Symmetrie, ... was auch immer noch), wurde eher am Rande angesprochen und soll vertieft werden. Das Zeichen kennen wir jetzt allgemein für Relationen, wurde eben immer benutzt.

Da du mir jetzt den für mich etwas schweren Einstieg schon gut näher gebracht hast, würde ich mich auch an (einfachere) Übungen herantrauen. Kennst du vielleicht eine Internetseite auf der viele Übungen dazu sind (Ich möchte mir dafür kein Buch kaufen)


Pascal
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Inwiefern Übungen? verwirrt

Normalerweise überprüft man eine gegebene Relation immer auf bestimmte Eigenschaften (reflexiv, symmetrisch etc.), wenn ihr die diese Begriffe noch nicht behandelt habt, wird es schwer Übungsaufgaben zu finden. Habt ihr keine Übungsblätter zu der Veranstaltung?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ich meinte dann sowas wie Überprüfen auf Eigenschaften als Übung.

Vieles eigne ich mir auch selbst an (versuche dies).

So habe ich gerade die Eigenschaften der Äquivalenzrelation angesehen und entdeckte, dass jedes Element (auch) zu sich selbst äquivalent ist, also zu sich selbst in Relation steht . Dann wäre und ja keine Äquivalenzrelation, dafür aber und .
(???)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist die Eigenschaft der Reflexivität. Bei einer Äquivalenzrelation muss jedes Element zu sich selbst in Relation stehen.

Und du hast Recht, bzw. ist keine Äquivalenzrelation, da nicht erfüllt ist. Welche Eigenschaften muss eine Äquivalenz denn noch erfüllen? Kann dann eine Äquivalenzrelation auf darstellen?
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt habe ich die Begrifflichkeiten auf Wikipedia auch besser verstanden.
[attach]19197[/attach]

müsste damit reflexiv sein, weil ja immer und zwar gilt.

Symmetrisch: Wenn ich das richtig verstanden habe ( verwirrt ), so müsste die Symmetrie nicht erfüllt sein, weil aus (ich hab ~ einfach mit < ersetzt, das sollte ja gehen) nicht immer gilt. Das geht nur, wenn . Ich hab gelernt, dass ja auch das gilt: .

Transitiv: Das wiederum sollte doch erfüllt sein. Wenn a kleinergleich b und b kleinergleich c, dann ist a auch kleinergleich c (könnte sogar gleich sein)

Damit wäre das dann keine (?) Aquivalenzrelation.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, bei handelt es sich nicht um eine Äquivalenzrelation da sie nicht symmetrisch ist. Sie ist lediglich reflexiv und transitiv.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Gibt es für so etwas auch einen Namen und wo kann man eine Liste finden, wo alle Eigenschaften, die Relationen haben könnten, aufgelistet sind (natürlich mit Erklärung).
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Versuch es mal auf Wikipedia.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, natürlich Augenzwinkern

Kann man denn auch mehr als 2 Mengen in die Relation aufnehmen?
Ich versuche mir nämlich gerade dieses Beispiel mathematisch vorzustellen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann auch mehr Mengen betrachten, allerdings brauchst du das nicht für das angegebene Beispiel.

Betrachte die Menge , dann lässt sich wie im Beispiel angegeben auf eine Äquivalenzrelation definieren.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, das hat mich nur ein bisschen durcheinander gebracht, dass es so viele verschiede "Äquivalenzklassen" gibt.

Ist mit Äquivalenzklasse eine Menge gemeint, dessen Elemente zueinander in Relation stehen ?

Die Relation ist ja, dass sie von der selben Art sind.

Man braucht also nur eine Menge und bildet dann das kartesische Produkt , und die Relation: ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Beides kann ich bestätigen.

Sei eine Äquivalenzrelation auf einer Menge . Für heißt die Äquivalenzklasse von (bzgl. ) und ein Vertreter der Äquivalenzklasse. Welche Notation ihr verwendet musst du entscheiden, vllt. ist es auch noch eine andere. Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

...und die Äquivalenzklasse ist selber eine Menge?!

Müssen eigentlich alle Elemente der Menge in die Relation aufgenommen werden?
Wenn man sagt, "R sei eine Äquivalenzrelation auf einer Menge M", also ist dann R eine Teilmenge von M² ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Äquivalenzklasse ist eine Menge.

Zitat:
Original von Pascal95
Müssen eigentlich alle Elemente der Menge in die Relation aufgenommen werden?


Hier musst du bei der Formulierung aufpassen, die Elemente einer Relation sind Tupel , das sind nicht mehr die ursprünglichen Elemente der Menge, also können die eigentlichen Mengenelemente nicht in der Relation enthalten sein.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Reflexivität bedeutet ja, dass alle Elemente zu sich selbst in Relation stehen.

"a ~ a für alle a aus A"

In einem anderen Thread hier im Matheboard (finde ich leider nicht mehr) tauchte mal die Frage auf:

Zitat:
A = {a,b,c}

R ist die Relation über der Menge A: R = {(a,a), (c,c)}

Untersuche auf Eigenschaften der Äquivalenzrelation.

(so oder ähnlich)

Warum ist die aber nicht reflexiv?
Es heißt ja b~b muss gelten. Doch b ist nicht Element von R ?!?!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Achte auf eine saubere Formulierung!

Es ist , somit kann gar nicht erfüllt sein, denn ist eine Menge von Tupeln. ist aber kein Tupel.

Was du wahrscheinlich meinst: Das Tupel ist nicht in enthalten, somit ist die Relation nicht reflexiv, da nicht alle Elemente der Menge zu sich selbst in Relation stehen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Was du wahrscheinlich meinst: Das Tupel ist nicht in enthalten, somit ist die Relation nicht reflexiv, da nicht alle Elemente der Menge zu sich selbst in Relation stehen.


Ja, das meinte ich. Aber muss das sein? Denn schließlich ist . Und könnte dann ja ohne auskommen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist nicht die Frage ob das damit "auskommen" kann, es ist die Frage nach der Reflexivität.

Damit eine Relation reflexiv ist, muss jedes Element der zugrunde liegenden Menge zu sich selbst in Relation stehen, anders ausgedrückt: für alle muss gelten oder noch anders, .

Hier ist nun aber nicht , also nicht reflexiv.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber eine Äquivalenzrelation ist auch nur eine Teilmenge von .

Wenn
dann muss die Relation aus mindestens diesen Elementen bestehen um reflexiv zu sein ?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
... muss jedes Element ... zu sich selbst in Reflexion stehen ...


Big Laugh

Augenzwinkern
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Er meint Relation Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

... weiß ich doch.
Aber das war doch ein richtig schöner Freud'scher. Und Reflexion auch noch richtig geschrieben ...
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, Reflexion, Relation...ist schon was später. Augenzwinkern

Ja, damit eine Relation auf dieser Menge reflexiv ist, muss sie zwingenderweise diese Elemente enthalten.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Man kann also über die Elemente etwas sagen, die mindestens in der Relation enthalten sein müssen.

Dann also noch um symmetrisch zu sein?

Kann man dann alle Elemente angeben, die genau in der Relation enthalten sind?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das kann man i.A. nicht.

Für eine reflexive Relation müssen die Tupel enthalten sein (eine endliche Menge vorausgesetzt). Wenn wir jetzt noch beliebige weitere Elemente hinzufügen, dann bleibt die Reflexivität erhalten. Also wäre z.B. bei deinem Beispiel sowohl die Relation als auch die Relation reflexiv.

Zu deinem zweiten Beispiel: Sowohl die Relation als auch sind reflexiv und symmetrisch.

Die Reflexivität stellt eine Bedingung an alle Elemente in der zugrunde liegenden Menge, die Symmetrie (und bei den Äquivalenzrelationen später die Transitivität) ist lediglich für die Elemente nachzuprüfen, die schon in der Relation enthalten sind.

Es kann also auf der selben Menge verschiedene Relationen geben die alle reflexiv und symmetrisch sind, aber dennoch ist .
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Die Reflexivität stellt eine Bedingung an alle Elemente in der zugrunde liegenden Menge, die Symmetrie (und bei den Äquivalenzrelationen später die Transitivität) ist lediglich für die Elemente nachzuprüfen, die schon in der Relation enthalten sind.

Das sind klare Worte. Dankesehr.

Aber gilt es dann auch immer, solch eine Relation zu beschreiben? Und damit meine ich nicht, auf Reflexivität etc. zu überprüfen, sondern die Eigenschaft, die ich hier mit ... versehen habe, zu finden?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Frage kann ich nicht ganz nachvollziehen. verwirrt

Wenn du einfach nur gegeben hast, kannst du erstmal relativ wenig machen, sofern du keine definierende Bedingung oder aufzählende Darstellung der Relation hast, kannst du kaum etwas über die Relation aussagen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte nur fragen, ob man das rückwirkend bestimmen kann.
Es ist also eine Relation R gegeben R = {(a,b), ...} und man soll diese Eigenschaft ... suchen. Ist das auch eine häufige Aufgabe?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, ok, dann ist die Frage klar.

Ja, das ist auch eine mögliche Aufgabenstellung, implizit haben wir das oben schon mit gemacht, nur eben nicht so formuliert.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Und wie könnte so eine Relation von mehreren Mengen aussehen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Für einen Anfänger stellst du ganz schön tiefgehende Fragen. Augenzwinkern

Da sind der Fantasie quasi kaum Grenzen gesetzt, eine wirklich schöne (im Sinne von bedeutsame) fällt mir auf Anhieb nicht ein, eine (triviale) mehrstellige Relation wäre z.B. auf einer beliebigen Menge gegeben durch . Alternativ könnte man als Bedingung eine Gleichung aufstellen, die die erfüllen müssen oder (wenn möglich) Teilbarkeiten ins Spiel bringen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Für einen Anfänger stellst du ganz schön tiefgehende Fragen. Augenzwinkern

Danke smile Das sehe ich als Kompliment.


Hier wäre aber Symmetrie und Reflexivität schwierig zu beschreiben.
Wüsste nicht wie das gehen sollte.

Die Tupel sind hier ja keine Paare mehr sondern Tripel.

Schreibt man dann ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Kannst du auch durchaus so sehen. Augenzwinkern

Was die Reflexivität, Symmetrie etc. angeht, die hatten wir für mehrstellige Relationen nicht definiert, daher weiß ich nicht genau ob das für mehrstellige Relationen überhaupt gemacht wird.

Reine Spekulation: reflexiv wenn für alle , symmetrisch wenn , ohne Gewähr auf Korrektheit, vielleicht kann da noch jemand anderes etwas zu sagen.
Pascal95 Auf diesen Beitrag antworten »

Das wäre mir aber dann doch noch zu hoch.

Vielleicht noch eine Frage: Müssen solche Relationen denn immer endliche Mengen sein oder können die auch unendlich sein (wenn eben die zu Grunden liegende Menge unendlich wäre)?
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