Relationen - Seite 2

21.04.2011, 22:15

Iorek

Die können durchaus unendlich sein. Die erste Relation $\begin{eqnarray*} > \end{eqnarray*}$ enthält z.B. unendlich unendlich viele Elemente; es ist $\begin{eqnarray*} (2,1)\in R \end{eqnarray*}$ und offensichtlich auch $\begin{eqnarray*} (3,1)\in R,~(4,1)\in R,\dots \end{eqnarray*}$ . weiter gehts mit $\begin{eqnarray*} (3,2)\in R,\dots \end{eqnarray*}$ , und negative Zahlen haben wir auch noch.

21.04.2011, 22:21

Pascal95

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Kann man die Relation dann so auch aufschreiben:
$\begin{eqnarray*} R = \left\{ \left(a,b\right) \in \mathbb Z^2 | a<b \right\} = \left\{ (1,2),(1,3),(2,3),... \right\} \end{eqnarray*}$
?

Man könnte ja alle Elemente erfassen ( $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ ist abzählbar unendlich) und nach Cantors Verfahren vorgehen, der zeigte, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ abzählbar unendlich ist. Man könnte dann positive und negative abwechseln und die nicht aufnehmen, wo $\begin{eqnarray*} a \geq b \end{eqnarray*}$ gilt.

21.04.2011, 22:25

Iorek

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Eine aufzählende Darstellung ist mit etwas Kreativität bestimmt möglich, wird allerdings sehr umständlich um wirklich alle nötigen Kombinationen zu erfassen und wäre mMn auch nicht sinnvoll. Die Schreibweise $\begin{eqnarray*} \{(a,b)\in\mathbb Z^2~|~a<b\} \end{eqnarray*}$ ist kürzer und eindeutig(er).

21.04.2011, 22:31

Pascal95

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Ok, danke sehr.

Allmählich glaube ich, habe ich das Thema mehr und mehr im Griff.

Dann bin ich schonmal gut vorbereitet smile

Hast du (vielleicht jetzt) so etwas wie eine Übung, an der man sich probieren könnte, welche Eigenschaften eine Relation besitzt?

Off-Topic: Wie lange studierst du eigentlich schon Mathe?

21.04.2011, 22:39

Iorek

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Wirkliche Übungsaufgaben dazu habe ich im Moment nicht parat, du kannst dir aber leicht eigene Relationen basteln und diese z.B. auf die Eigenschaften einer Äquivalenzrelation überprüfen.

Einige die mir auf Anhieb einfallen:

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine beliebige Menge, überprüfe ob die Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x\sim y:\Leftrightarrow x=y \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist.

Sei $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ fest gewählt. Wähle als Menge $\begin{eqnarray*} M=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , ist dann $\begin{eqnarray*} R:=\{(x,y)\in\mathbb Z^2,~m~\mid~x-y\} \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation?

Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine Menge. Wir betrachten die Mengeninklusion auf der Potenzmenge, also $\begin{eqnarray*} A\sim B:\Leftrightarrow A\subseteq B,~A,B\subseteq M \end{eqnarray*}$ , handelt es sich hier um eine Äquivalenzrelation?

Ich bin jetzt im 5ten Semester.

21.04.2011, 22:43

Pascal95

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Zitat:

Original von Iorek
Sei $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ eine beliebige Menge, überprüfe ob die Relation $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} x\sim y:\Leftrightarrow x=y \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation ist.

Reflexivität: Für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gilt immer $\begin{eqnarray*} x=x \end{eqnarray*}$ .
Symmetrie: Aus $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ !
Transitivität: Ist mir ein bisschen neuer, aber habe ich jetzt so verstanden: $\begin{eqnarray*} x=y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=z \end{eqnarray*}$ , dann auch $\begin{eqnarray*} x=z \end{eqnarray*}$ .

Deswegen ist $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation (?)

21.04.2011, 22:49

Iorek

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Genau, die Gleichheit ist eine Äquivalenzrelation für jede Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ .

21.04.2011, 22:58

Pascal95

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Zitat:

Original von Iorek
Sei $\begin{eqnarray*} m\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ fest gewählt. Wähle als Menge $\begin{eqnarray*} M=\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , ist dann $\begin{eqnarray*} R:=\{(x,y)\in\mathbb Z^2,~m~\mid~x-y\} \end{eqnarray*}$ eine Äquivalenzrelation?

Ich denke, das bedeutet: "m teilt x-y" (?)

Wenn ja, dann würde ich das so versuchen:

Reflexivität: Dann wäre doch x=y zu setzen und es heißt dann: "m teilt 0". Das geht doch nicht!
Symmetrie: Wenn m x-y teilt, dann ist die Frage, ob m auch y-x teilt. Ich wüsste nicht, ob man das beweisen könnte. Zahlenbeispiel: m=3, x=10, y=1, m teilt (x-y)? -> Ja, 3 teilt (10-1 = 9). Aber 3 teilit auch (1-10=-9). Dann fällt auf, dass $\begin{eqnarray*} |x-y| = |y-x| \end{eqnarray*}$ der Betrag gleich ist. Dann müsste das auch gelten verwirrt

Transitivität: ...

Habe ich richtig verstanden?
- Reflexivität: y=x setzen ?
- Symmetrie x und y vertauschen und prüfen
- Transitivität x,y y,z -> x,z prüfen

21.04.2011, 23:09

Iorek

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Gucken wir uns das mal an:

Du hast es richtig interpretiert, $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ teilt die Differenz.

Zur Reflexivität: Ist $\begin{eqnarray*} (x,x)\in R~\forall x\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ? Wie du geschrieben hast, gilt $\begin{eqnarray*} x-x=0 \end{eqnarray*}$ , wie sieht es denn mit der Teilbarkeit aus? Warum sollte unsere Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ nicht die Null teilen?

Zur Symmetrie: da müsste man nachfragen, wie ihr die Teilbarkeit eingeführt habt. Eine übliche Definition wäre: $\begin{eqnarray*} 0\neq a\in\mathbb Z \end{eqnarray*}$ teilt $\begin{eqnarray*} b\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn es ein $\begin{eqnarray*} c\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} a\cdot c=b \end{eqnarray*}$ . Mit der Kommutativität der Multiplikation in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ bekommt man leicht, dass dann auch $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ ist.

Sei also jetzt $\begin{eqnarray*} (x,y)\in R \end{eqnarray*}$ , also wissen wir jetzt schon, dass das $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ die Differenz $\begin{eqnarray*} x-y \end{eqnarray*}$ teilt. Die Symmetrie folgt jetzt eigentlich sofort.

Versuch dich mit diesem Ansatz auch mal an der Transitivität.

21.04.2011, 23:22

Pascal95

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Achso, da bin ich durcheinander gekommen Ups

0 steht dann sozusagen oben im Bruch und das geht. Ist die Relation dann reflexiv.
Die Frage ist ob (x,x) in R ist für alle x aus Z hast du geschrieben und ich glaube: Ja (leichte Unsicherheit)

Zur Symmetrie: Ja, so in der Art wurde es definiert. Nur die 0 nicht explizit ausgeschlossen, weil sie ja auch teilen kann. Es darf nur nicht durch sie geteilt werden. Allerdings gibt es dann kein c aus Z, sodass a*c=b (Hmmm...)
Wenn man jetzt einfach -c statt c nimmt kann man a stehen lassen und es gibt also immer ein c für -a, wenn es ein c für a gab (<- richtig so?)

Zur Transitivität: Die Frage wäre dann: m teilt x-y und m teilt y-z. Teilt dann m auch x-z ?

$\begin{eqnarray*} m|x-y \Leftrightarrow \exists n_1 \in \mathbb Z : n_1 \cdot m = x-y \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m|y-z \Leftrightarrow \exists n_2 \in \mathbb Z : n_2 \cdot m = y-z \end{eqnarray*}$
Erstmal soweit formal richtig?

21.04.2011, 23:36

Iorek

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Ja, damit ist die Relation reflexiv, da jede natürliche Zahl ein Teiler der 0 ist.

Zitat:

Original von Pascal95
Zur Symmetrie: Ja, so in der Art wurde es definiert. Nur die 0 nicht explizit ausgeschlossen, weil sie ja auch teilen kann. Es darf nur nicht durch sie geteilt werden. Allerdings gibt es dann kein c aus Z, sodass a*c=b (Hmmm...)

Die 0 ist doch kein Teiler für irgendetwas. geschockt

Zitat:

Original von Pascal95
Wenn man jetzt einfach -c statt c nimmt kann man a stehen lassen und es gibt also immer ein c für -a, wenn es ein c für a gab (<- richtig so?)

Du meinst das richtige, allerdings solltest du es noch richtig aufschreiben.

Sei $\begin{eqnarray*} a\cdot c=b \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ . Dann ist mit $\begin{eqnarray*} -a\cdot c=-1\cdot a\cdot c=\dots \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} -a \end{eqnarray*}$ ein Teiler von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

Ich bin jetzt allerdings weg für heute, viel Erfolg falls du noch weitermachen solltest, du kannst dich morgen gerne wieder melden; allerdings solltest du dann einen neuen Thread aufmachen, der hier wird langsam etwas länglich. Augenzwinkern

21.04.2011, 23:43

Pascal95

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Zitat:

Original von Iorek
Ich bin jetzt allerdings weg für heute...

Ja, wie auch immer man "heute" definiert. Wenn heute und morgen durch das Schlafen getrennt werden, so ists ja richtig Augenzwinkern

Dann werde ich mich heute nachmittag Big Laugh

mal wieder melden und einen neuen Thread eröffnen.
Ich bin jetzt sowieso zu müde und kann mich nicht mehr konzentrieren.
Tschüss für heute und vielen Dank für die Hilfe. So viel lernt man auch nicht jeden Abend.

Gute Nacht,
Pascal

22.04.2011, 12:09

Pascal95

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weiter $\begin{eqnarray*} \rightarrow \end{eqnarray*}$ (Äquivalenz-) Relationen Big Laugh

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