Funktion symmetrische Bilinearform auf V

22.04.2011, 00:10	Butterfly152	Auf diesen Beitrag antworten »
Funktion symmetrische Bilinearform auf V Meine Frage: Eine wunderschöne Gute Nacht! Und zwar hab ich ein kleines Problem mit einer Aufgabe. Sei V der reelle Vektorraum aller symmetrischen, reellen 2x2-Matrizen. Die Funktion b: VxV ->R ist definiert durch $\begin{eqnarray} b(A,B)=2\cdot spur(A\cdot B)- spur(A)\cdot spur(B) \end{eqnarray}$ . a) Zeigen Sie, dass die Funktion b eine symmetrische Bilinearform auf V ist. b) Wieviele +1,-1 und 0 sind in der Diagonalen einer Diagonalmatrix, die die Abbildung b in V darstellt? Meine Ideen: Für eine Symmetrische Bilinearform muss ja gelten f(v,w)=f(w,v) aber wie genau kann ich das jetzt zumindest auf Teil a) anwenden? Vielen Dank schon mal!
22.04.2011, 10:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst nur zeigen, dass für reelle symmetrische 2x2-Matrizen spur(AB)=spur(BA) gilt, denn spur(A)spur(B)=spur(B)spur(A) ist für relle Zahlen klar. (Dann musst du noch alle anderen Eigenschaften der Bilinearität beweisen, und Teil b) musst du auch noch machen.)
22.04.2011, 23:58	Butterfly152	Auf diesen Beitrag antworten »
kann ich einfach eine 2x2 Matrix aufstellen bzw 2? Also: $\begin{eqnarray} A:= \begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ b_1 & b_2 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B:= \begin{pmatrix} c_1 & c_2 \\ d_1 & d_2 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und die dann die einträge der matrix zum beweis einsetzen? Also $\begin{eqnarray} (a_1 + b_2) \cdot (c_1 \cdot d_2) = ... \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} (c_1 \cdot d_2) \cdot (a_1 + b_2) = ... \end{eqnarray}$ kann man das als beweis verwenden? und die weitere frage wäre, ich weiß zwar, wie man eine Bilinearform beweist, aber nicht für matrizen, wir hatten immer Abbildungen mit Vektoren. Kann ich einfach zb den Eintrag von $\begin{eqnarray} A:= \begin{pmatrix} a_i \\ b_i \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B:= \begin{pmatrix} c_i \\ d_i \\\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ wählen? oder wie beweise ich bei einer matrix die Bilinearform? Die Kriterien die für eine Bilinearform gelten müssen sind ja: $\begin{eqnarray} <br /> (i) b(x+x',y) = b(x,y) + b(x',y)<br /> (ii) b (\alpha x,y) = \alpha b(x,y)<br /> (iii) b(x,y+y') = b(x,y) + b(x,y')<br /> (iv) b (x,\alpha y) = \alpha b(x,y) <br /> \end{eqnarray}$
23.04.2011, 10:31	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Dein Ansatz beruht auf der Behauptung spur(AB)=spur(A)spur(B), das geht, aber das müsstest du dann erst mal beweisen. Genau so einfach ist der Beweis spur(AB)=spur(BA), dazu musst du nur AB und BA berechnen und jeweils die Summe derr Hauptdiagonalelemente bilden. Die Menge der symmetrischen 2x2 Matrizen ist ein Vektorraum, ihre Elemente sind Matrizen. Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren, also sind die Matrizen Vektoren. In den Definitionen musst du für x und y symmetrische Matrizen $\begin{eqnarray} x=A=\begin{pmatrix} a_1 & a_2 \\ a_2 & a_3 \end{pmatrix} , y=B=\begin{pmatrix} b_1 & b_2 \\ b_2 & b_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ einsetzen.
25.04.2011, 15:03	gast4968	Auf diesen Beitrag antworten »
seit wann ist spur(A)spur(B)=spur(AB)? Beispiel: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ -3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 & -2 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 1 \\ -8 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ist ja ganz offensichtlich dass obige gleichung nicht stimmt, denn $\begin{eqnarray} -5 \neq 8 \end{eqnarray}$

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