Reihe <-> Summe

22.04.2011, 10:01

Pascal95

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Reihe <-> Summe

Hallo,

ich möchte eine Frage zu einer Definition loswerden:

Kürzlich habe ich gelesen, dass eine Reihe $\begin{eqnarray*} \sum ... \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt eine Summe haben muss. Eine Summe sei nur dann vorhanden, wenn das Ergebnis eine reelle Zahl ist und nicht etwa unendlich.

So hätte die Harmonische Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i} \end{eqnarray*}$ keine Summe, da $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^\infty \frac{1}{i} = \infty \end{eqnarray*}$ .

Allerdings hätten dann z.B. geometrische Reihen mit $\begin{eqnarray*} |q|<1 \end{eqnarray*}$ eine Summe.

Habe ich das richtig verstanden?

22.04.2011, 10:08

Iorek

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Ja, das Summenzeichen hat in diesem Fall eine Doppelbedeutung, abhänig von der Konvergenz der Reihe, siehe auch [WS] Reihen.

22.04.2011, 10:13

Pascal95

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Aha,

die Konvergenz kann ja auch so ausgedrückt werden:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty } \sum\limits_{i=...}^n ... \end{eqnarray*}$ (unendliche Summe)

Und wenn dies ein Grenzwert in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist, so hat die Reihe eine Summe.

Ich hoffe, dass das soweit richtig ist.

Danke auch für den Link, mit den Workshops hier habe ich auch schon ganz gute Erfahrungen gemacht smile

smile

Pascal

22.04.2011, 10:17

Iorek

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Das stimmt soweit, allerdings finde ich die Formulierung "die Reihe hat eine Summe" ungewöhnlich (nicht notwendigerweise falsch). Ich würde eher sagen: Existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} s_n=\lim\limits_{n\to\infty} \sum\limits_{i=1}^n a_n =S \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} S\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ so ist der Reihenwert endlich.

Viel Spaß im Workshop. smile

smile

22.04.2011, 10:22

Pascal95

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Und da fällt mir gerade auf, dass Du diesen Workshop geschrieben hast Augenzwinkern

Augenzwinkern

Wenn der Grenzwert für $\begin{eqnarray*} n \to \infty \end{eqnarray*}$ existiert, so ist der Reihenwert endlich?! Es gibt doch auch den Grenzwert z.B.
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \quad \lim_{x \to \infty } f(x) = \infty \end{eqnarray*}$ .
(oder uneigentlicher Grenzwert ???)

Und wenn die Summe nicht unendlich ist, so ist der Reihenwert automatisch endlich?

22.04.2011, 10:26

Iorek

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Das wäre ein uneigentlicher Grenzwert, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist keine reelle Zahl und fällt somit aus der Definition raus.

Und nein, $\begin{eqnarray*} \sum a_k\neq \infty \end{eqnarray*}$ reicht nicht für die Konvergenz und einen endlichen (reellen) Reihenwert aus, lies dir dazu mal die ersten beiden Punkte des Workshops durch, da sind Beispiele zu diesen Sachen drin. Augenzwinkern

Augenzwinkern

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22.04.2011, 10:34

Pascal95

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Zitat:

Original von Iorek
Und nein, $\begin{eqnarray*} \sum a_k\neq \infty \end{eqnarray*}$ reicht nicht für die Konvergenz und einen endlichen (reellen) Reihenwert aus...

Hmmm, im Workshop steht: Die Reihe konvergiert, wenn die Folge der Partialsummen konvergieren. verwirrt

verwirrt

Oder meinst du $\begin{eqnarray*} \sum a_k \neq \pm \infty \end{eqnarray*}$ ?

So ganz versteh ich die (notwendige/hinreichende) Bedingung für die Existenz des Grenzwertes = endlicher Reihenwert nicht.

Edit: Ein notwendiges Kriterium ist, dass die zu Grunde liegende Folge eine Nullfolge ist. Das verstehe ich.

22.04.2011, 10:38

Iorek

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Ja, man kann auch $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ da nehmen, ich wollte damit sagen, dass aus $\begin{eqnarray*} \sum a_k \neq \pm \infty \end{eqnarray*}$ nicht notwendigerweise die Konvergenz der Reihe folgt, dazu ist das Beispiel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \end{eqnarray*}$ gedacht. Offensichtlich ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \neq \pm \infty \end{eqnarray*}$ , die Reihe ist aber trotzdem nicht konvergent.

Welche hinreichende Bedingung meinst du?

22.04.2011, 10:40

Pascal95

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \neq \pm \infty \end{eqnarray*}$
Ja, die Reihe divergiert unbestimmt.
Edit: Das meint Wiki hier.

Zitat:

Original von Iorek
Welche hinreichende Bedingung meinst du?

Die suche ich noch.

22.04.2011, 10:46

Iorek

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Du bist da bei der Folge $\begin{eqnarray*} a_k=(-1)^k \end{eqnarray*}$ , das ist aber nicht die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \end{eqnarray*}$ , achte auch hier auf eine genaue Formulierung.

Zur hinreichenden Bedingung: bisher solltest du noch nicht allzuviele Möglichkeiten haben, um eine Reihe auf Konvergenz zu überprüfen. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} s_n=S\in\mathbb R \end{eqnarray*}$ ist ein hinreichendes Kriterium, allerdings wird diese eher selten verwendet. Später kommen weitere Kriterien die angenehmer zu verwenden sind.

22.04.2011, 10:50

Pascal95

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Aber man kann dann auch Folgeaussagen auf die Reihe treffen?

Eine Reihe habe ich noch nie wirklich auf Konvergenz überprüft, sondern meistens nur Grenzwerte von Folgen berechnet.

Eine Reihe selber ist doch auch eine Folge und eine andere Folge liegt ihr sozusagen zur Grunde (?)

Edit:

Ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \end{eqnarray*}$ überhaupt definiert?
Schließlich wechselt hier immer 1 und -1 (Folge).
Und das wird dann addiert (Reihe).

1-1+1-1+1-1... ist das dann =0 ?

22.04.2011, 10:58

Iorek

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Wie gesagt, genau auf die Formulierung achten.

Sei $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ eine reelle Folge, wir definieren uns eine Folge durch $\begin{eqnarray*} (s_n)_{n\in\mathbb N} =\sum\limits_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ , unser $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -tes Folgenglied der Folge $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ sind also die ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Folgenglieder der Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ aufsummiert. Das Gebilde $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ nennen wir dann Reihe (über $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ ).

Du kannst leider nicht alle Aussagen über Folgen direkt auf Reihen übertragen, und du musst auch genau aufpassen von was du redest. Betrachtest du die Folge $\begin{eqnarray*} (a_k)_{k\in\mathbb N}=(-1)^k \end{eqnarray*}$ oder betrachtest du die Reihe über diese Folge $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k=\sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \end{eqnarray*}$ , das sind zwei völlig unterschiedliche Sachen.

Warum sollte das nicht definiert sein? Und nein, das ist nicht "=0", wie würdest du das entscheiden wollen, du hast unendlich viele Folgenglieder die du aufsummierst. Außerdem: wäre $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k=0 \end{eqnarray*}$ , dann würde die Reihe konvergieren, was sie nach der notwendigen Bedingung aber nicht tun kann.

22.04.2011, 11:04

Pascal95

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Kann man das dann so sehen`?

Man hat also eine Folge und nennt sie $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ .
Dann erstellt man eine Reihe $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ über der Folge $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ die als Index $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ hat, weil man diese Folgeglieder aufsummiert: $\begin{eqnarray*} s_n \sum\limits_{i=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ . Man nutzt den Index der Folge als Index für die Summe (unter dem Summenzeichen).

Ok, aber wie soll dann $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \end{eqnarray*}$ aussehen?

22.04.2011, 11:13

Iorek

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Deine Erklärung kommt mir jetzt etwas wirr vor, da stehen irgendwelche Indizes die nicht zusammenpassen. $\begin{eqnarray*} s_n \end{eqnarray*}$ ist außerdem erst einmal nur eine weitere Folge mit Gliedern $\begin{eqnarray*} s_n=\sum\limits_{k=1}^n a_k \end{eqnarray*}$ , die Reihe ist $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty a_k \end{eqnarray*}$ .

Ob man als Indizes jetzt $\begin{eqnarray*} k,n \end{eqnarray*}$ oder etwas anderes verwendet ist egal, von mir aus nennen wir das um in $\begin{eqnarray*} a_{\text{Birne}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} s_{\text{Apfel}} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty (-1)^k \end{eqnarray*}$ "sieht nicht aus". Du addierst nacheinander immer wieder 1 und -1 auf, und du hörst damit nie auf. Machst du zwischendrin mal eine Pause bleibst du entweder bei -1 oder bei 0 stehen, aber danach machst du wieder weiter. Die Reihe konvergiert nicht, es existiert also keine (eindeutige!) reelle Zahl als Grenzwert.

22.04.2011, 12:58

Pascal95

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Und weil es auch keinen (uneigentlichen) Grenzwert $\begin{eqnarray*} \pm \infty \end{eqnarray*}$ gibt, sagt man, die Reihe divergiert unbestimmt (das darf man hier doch auch sagen, denn die Reihe, die eine Folge ist, ist dann (1,0,1,0,1...) )

22.04.2011, 13:33

Iorek

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Ja, das könnte man so auffassen.

22.04.2011, 13:35

Pascal95

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Dann vielen Dank für deine Hilfe (mal wieder) !

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