Gradient senkr. Niveaufläche

22.04.2011, 10:03	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Gradient senkr. Niveaufläche Hallo Leute, ich hätte da mal ein paar grundlegende Fragen zum Gradienten bzw. direkt zu der Aussage: Gradientenvektor steht senkrecht auf der Niveaufläche. Und zwar jetzt mal von der Vorstellung her: Wir haben einen Berg, x- und y-Achse befinden sich auf dem "Boden" und die z-Achse gibt die Höhe des Berges an. Nun suche ich mir eine Höhe c (kleiner als Gesamthöhe des Berges natürlich ;-) ) und "schneide" das ganze Bergmassiv, was sich über bzw. unter c befindet, weg. Übrig bleibt eine Fläche, wenn ich von oben draufgucke, ihre Koordinaten hängen jetzt nur noch von x und y ab. Das ist dann die Niveaufläche. Richtig? Jetzt ist der Berg wieder da und ich stehe an irgendeinem Punkt, vl nicht gerade auf dem Gipfel. Jetzt will ich mir den Gradienten anschauen. Könnte mir das jemand bitte genau so kinderfreundlich erklären, wie ich oben die Niveuafläche? Ich meine, ich leite jetzt partiell erst nach x, dann nach y ab. Da kommt dann ein Vektor heraus. Aber wieso zeigt der "zum Himmel" (also senkrecht zur Niveaufläche)? Hab mir dazu auch folgenden Text durchgelesen, aber ich finde nicht, dass der Gradientenvektor hier senkrecht auf der Niveaufläche steht (erstes Bild auf Seite 6): http://www.antigauss.de/funktionen_mit_m...n_variablen.pdf Vielen Dank und frohe Ostern wünsch ich euch! lg
23.04.2011, 01:31	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die beiden Richtungsableitungen spannen ja zunächst nur die Tangentialebene auf, da weist noch nichts "zum Himmel". Die Richtungsvektoren der Tangentialebene sind (1; 0; df/dx), (0; 1; df/dy) ... d ist hier der partielle Ableitungsoperator Die partiellen Ableitungen ergeben die Steigungen in den jeweiligen Richtungen (x-, y-Richtung) Wenn nun das Vektorprodukt der beiden o.g. Vektoren gebildet wird, wird damit der Gradient ermittelt, denn dieser steht senkrecht auf der Tangentialebene in dem bestimmten Punkt der Fläche. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ f_x \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ f_y \end{pmatrix} = \vec {n_\tau} = -\begin{pmatrix} f_x \\ f_y \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die z-Komponente des Gradientenvektors ist nicht 0, sondern -1 (!) Dies deshalb, weil beim Gradienten die partiellen Ableitungen der "impliziten", d.h. auf 0 gebrachten Funktion zu bilden sind: $\begin{eqnarray} F = f(x,y) - z = 0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \ldots \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial z} = -1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \to \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \mathfrak{grad} F(x_1,y_1,z_1) = \begin{pmatrix} f_x \\ f_y \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Da man den Normalvektor mit (-1) multiplizieren kann, stimmt dies mit dem zuvor berechneten Gradienten überein. _________________________________ Weiterer Tipp: Boardsuche unter "Tangentialebene", "Gradient" mY+
27.04.2011, 18:44	Margarita90	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich danke dir vielmals, echt eine tolle Erklärung!

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