pDGL: Separationsansatz

22.04.2011, 11:06	huzein	Auf diesen Beitrag antworten »
pDGL: Separationsansatz Meine Frage: Hallo, ich habe eine Frage zum Separationsansatz. Betrachten wir zB die zweidimensionale Wellengleichung $\begin{eqnarray} \Delta u=c^2 u_{tt}. \end{eqnarray}$ Der Separationsansatz $\begin{eqnarray} u(x,y,t)=U(x,y)T(t)=X(x)Y(y)T(t) \end{eqnarray}$ liefert das Eigenwertproblem $\begin{eqnarray} \Delta U+\lambda U=0. \end{eqnarray}$ Meine Frage ist nun: Der Separationsansatz schränkt ja zunächst die möglichen Lösungen ein, denn es kommen ja nur diejenigen Funktionen $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ in Frage, die dargestellt werden können durch das Produkt $\begin{eqnarray} X(x)Y(y) \end{eqnarray}$ . Nun gibt es da sicherlich ein Satz der aussagt, dass der Separationsansatz, wenn er eine Lösung liefert, dann alle Lösungen liefert. Also dass wenn bspsweise $\begin{eqnarray} u_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} u_2 \end{eqnarray}$ dann auch jede Linearkombination eine Lösung ist, ist klar. Die Frage ist, ob es Funktionen $\begin{eqnarray} U \end{eqnarray}$ gibt, die sich nicht aufspalten lassen in das Produkt $\begin{eqnarray} X(x)Y(y) \end{eqnarray}$ und trotzdem die pDGL lösen. Meine Ideen: Die Antwort ist nein, der Separationsansatz liefert alle möglichen Lösungen. Aber ich suche nach einem Satz/Theorem, der diesen Tatbestand beweist. Nach so einem Satz suche ich, werde aber einfach nicht fündig. Vielleicht könnt ihr mir da weiter helfen.
26.04.2011, 19:09	huzein	Auf diesen Beitrag antworten »
hat echt keiner eine idee? mhh...

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