Tangentensteigung aus Funktionsschar bestimmen

06.12.2006, 17:02

Spraygun

Tangentensteigung aus Funktionsschar bestimmen

Oder so ähnlich

Hallo,
wir haben neulich die Hausaufgabe bekommen, die Tangentensteigung zu berechenen.
Vorbereitend dazu haben wir die Steigung zwischen zwei Punkten einer Parabel im Unterricht berechnet. Punkt (1/3) und (3/11).
Die Funktion der Parabel
$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2}+2 \end{eqnarray*}$
Die Steigung zwischen den beiden Punkten ist:
$\begin{eqnarray*} m=4 \end{eqnarray*}$
Nun sollten wir den Punkt finden an dem die Sekante zu Tangente wird.
Dafür sollten wir eine Funktionsschar für den Punkt (1/3) machen.
$\begin{eqnarray*} f(x)=mx+b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(1)=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} m+b=3 \end{eqnarray*}$ -m
$\begin{eqnarray*} b=3-m \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} fm(x)=mx+3-m \end{eqnarray*}$
Als letzten Tipp hat uns unser Lehrer noch gegeben das:
f(x)=fm(x)
woraus sich nach entsprechender Äquivalenzumformung
$\begin{eqnarray*} x^{2}-mx-1+m=0 \end{eqnarray*}$
ergibt.

So wurden wir entlassen, ich kann mir absolut keinen reim machen, wie ich daruas nu die Tangentensteigung errechnen soll.
Ich habe dann wild das Handbuch meines Rechners durchsucht und im entsprechenden Menü
$\begin{eqnarray*} f(x)=2x+1 \end{eqnarray*}$
herausbekommen.

Nun kann ich das weder überprüfen, noch nachvollziehen, wie der rechner das gemacht hat. Ich würde aber gerne Wissen wie das auch ohne Rechner gerechnet werden kann.
Wäre toll wenn mir jemand das erklären könnte.

Danke im Voraus

06.12.2006, 18:31

Dorika

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welche aufgabe möchstest du lösen? konkrete gleichung der schar?
lg tina

06.12.2006, 18:38

klarsoweit

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RE: Tangentensteigung aus Funktionsschar bestimmen

Zitat:

Original von Spraygun
Nun sollten wir den Punkt finden an dem die Sekante zu Tangente wird.
Dafür sollten wir eine Funktionsschar für den Punkt (1/3) machen.

Das kommt mir alles etwas merkwürdig vor. Was ist da jetzt gemeint? Ich verstehe das so, daß der Punkt auf dem Graph von f(x) gesucht wird, wo die Gerade (Sekante) mit der Steigung 4 zur Tangente an die Funktion f wird. Anders gesagt: man muß die Sekante bei gleichbleibender Steigung geeignet verschieben. dafür betrachtet man die Geradenschar:
$\begin{eqnarray*} g_b(x) = 4x + b \end{eqnarray*}$

Diese wird mit f(x) gleichgesetzt:
$\begin{eqnarray*} x^2 + 2 = 4x + b \end{eqnarray*}$

Dies ist eine normale quadratische Gleichung. Löse diese und bestimme b so, daß du nur eine Lösung hast.

06.12.2006, 19:56

Spraygun

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@ klarsoweit Oh das hab ich sehr unglücklich ausgedrückt. Ja die Sekante soll verschoben werden bis sie zur Tangente wird.

Ob das bei gleichbleibender Steigung geschehen soll weiss ich nicht. Ich habe alle Aufzeichnungen so von der Tafel übernommen, wie sie dort stehen.

Habe nun deinen Ansatz weitergeführt und bin schlussendlich auf:

$\begin{eqnarray*} x^{2}-4x+2=b \end{eqnarray*}$

gekommen.

Nun stockt es aber im Gehirn, wie löse ich des denn nu auf, setze ich da einfach einen beliebigen x wert ein oder wende ich die pq formel an(aber ich will ja gar keine Nullstelle bestimmen)?

//Edit: Die Sekante soll auf dem Punkt (1/3) verschoben werden. Es soll also die Tangente gefunden werden, die an Punk (1/3) die Parabel berührt

07.12.2006, 10:56

klarsoweit

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RE: Tangentensteigung aus Funktionsschar bestimmen

Zitat:

Original von Spraygun
$\begin{eqnarray*} fm(x)=mx+3-m \end{eqnarray*}$

OK. Also doch Tangente durch (1, 3) bestimmen. Dann lautet deine Geradenschar:
$\begin{eqnarray*} g_m(x) = mx+3-m \end{eqnarray*}$
(Ich nehme lieber den Buchstaben g, damit man es nicht mit der Funktion f verwechselt.)

Bei dieser Geradenschar ist g_m(1) = 3. Das heißt, diese Geraden laufen tatsächlich durch den Punkt (1, 3). Jetzt brauchen wir die Gerade, die mit deiner Parabel genau einen Schnittpunkt nämlich (1, 3) hat. Setze also mx+3-m mit x² + 2 gleich und bestimme mit der p-q-Formel die Nullstellen. Dann mußt du m so wählen, daß tatsächlich nur eine Nullstelle rauskommt.

07.12.2006, 16:54

Spraygun

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Hi,

erstmal danke für deine Hilfe.

Haben heute die Aufgabe im Matheunterricht besprochen und sie gelöst.

Unser Mathelehrer meint, dass die Tangentenbestimmung der wesentliche Punkt ist um den Nachfolgenden Stoff zu verstehen.

Ich sage ich bin bereit für den nachfolgenden Stoff.

Danke

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