was ist ein Modul?

22.04.2011, 12:13

Acacia

was ist ein Modul?

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich hab mal eine Verständnisfrage, unzwar:

Ich weiß inzwischen, was eine Gruppe, ein Ring, ein Körper ist. Jetzt haben wir seit einer Woche Moduln eingeführt und ich bin mir nicht genau sicher, was man sich z.B. unter einem Z-Modul (Z sind die ganzen zahlen) vorstellen kann... Ich möchte hier bitte keine Definitionen im fachchinesisch, sondern z.b. ein ganz einfaches und anschauliches Beispiel. Danke smile

Meine Ideen:
...

22.04.2011, 12:28

zweiundvierzig

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Kennst Du Vektorräume? Ein Modul ist im Grunde dasselbe mit dem Unterschied, dass die Struktur der Skalare nicht notwendig ein Körper, sondern ein Ring ist.

Z.B. ist jeder $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum ein $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Modul.

Außerdem kann man jede abelsche Gruppe kann man als $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -Modul auffassen. Die Multiplikation mit ganzen Zahlen wird dabei als Summe eines Elements bzw. seines additiven Inversen mit sich selbst definiert.

22.04.2011, 12:28

Mystic

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RE: was ist ein Modul?
Die Kurzantwort wäre: Ein $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -Modul A ist nichts anderes als die zugrundeliegende abelsche Gruppe (A,+), was dich aber vermutlich wenig befriedigen wird...

Etwas ausführlicher: Alle Gesetze, welche für den $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -Modul A über die Gruppenaxiome hinaus gelten müssen, gelten automatisch schon durch die Rechenregeln für Potenzen in einer abelschen Gruppe z.B. ist 3(a+b)=3a+3b gültig wegen

3(a+b)=(a+b)+(a+b)+(a+b)=(a+a+a)+(b+b+b)=3a+3b

wobei zwischendurch das Kommutativgesetz in der Gruppe (A,+) verwendet wurde, d.h., das würde in beliebigen Gruppen so nicht funktionieren... Überzeug dich, was die anderen Gesetze betrifft, einfach selber davon an ähnlichen Beispielen und wenn's Probleme dabei gibt, helfe ich dir gerne... Augenzwinkern

22.04.2011, 12:45

Acacia

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Danke 42 und mystic für eure antworten smile

die Definition: "Es sei K ein Körper. Einen K-modul V nennt man einen K-Vektorraum."
habe ich grade vor mir liegen.
wenn ich also einen Körper aus Vektoren habe, was unterscheidet dann den körper von einem modul?
ich nehme eine Menge M und verknüpfe sie quasi mit K und dann hab ich einen K-Modul?

22.04.2011, 12:53

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Acacia
wenn ich also einen Körper aus Vektoren habe, was unterscheidet dann den körper von einem modul?

Man nennt die Elemente im Körper nicht Vektoren, sondern Skalare. Über dem Skalarkörper betrachtet man einen Vektorraum und dessen Elemente heißen Vektoren.

Zitat:

Original von Acaciaich nehme eine Menge M und verknüpfe sie quasi mit K und dann hab ich einen K-Modul?

Kann man so sagen. Diese Verknüpfung ist genau die Skalarmultiplikation und sie muss natürlich bestimmte Axiome erfüllen.

22.04.2011, 13:10

Acacia

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Zitat:

Original von zweiundvierzig

Zitat:

Original von Acacia
wenn ich also einen Körper aus Vektoren habe, was unterscheidet dann den körper von einem modul?

Man nennt die Elemente im Körper nicht Vektoren, sondern Skalare. Über dem Skalarkörper betrachtet man einen Vektorraum und dessen Elemente heißen Vektoren.

Zitat:

Original von Acaciaich nehme eine Menge M und verknüpfe sie quasi mit K und dann hab ich einen K-Modul?

Kann man so sagen. Diese Verknüpfung ist genau die Skalarmultiplikation und sie muss natürlich bestimmte Axiome erfüllen.

ah ok, ich glaub ich hab jetzt schon mehr verstanden als in den letzten 2 vorlesungen Big Laugh

ok, also der Körper R² = {[x1,x2] | x1,x2 € R} (R sind die reellen zahlen)
macht aus einem paar reeller zahlen einen vektor?

und wenn ich diese entstandenen Vektoren mit den elementen einer Menge M (z.b. M sind die ganzen zahlen) skalarmultiplizieren kann, und der entstandene Vektor wieder aus Elementen von R besteht, ist R ein R-modul bezüglich M, oder wie schreibt man das genau?
wenn mein hintergrundgedanke stimmt, hab ichs glaub ich verstanden^^

22.04.2011, 13:17

zweiundvierzig

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Zitat:

Original von Acacia
ah ok, ich glaub ich hab jetzt schon mehr verstanden als in den letzten 2 vorlesungen Big Laugh

ok, also der Körper R² = {[x1,x2] | x1,x2 € R} (R sind die reellen zahlen)
macht aus einem paar reeller zahlen einen vektor?

Naja, wie schon gesagt, $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist selbst kein Körper, sondern ein Vektorraum über dem Körper $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Die Vektoren $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ in sind paare reeller Zahlen, ja.

Zitat:

Original von Acacia
und wenn ich diese entstandenen Vektoren mit den elementen einer Menge M (z.b. M sind die ganzen zahlen) skalarmultiplizieren kann, und der entstandene Vektor wieder aus Elementen von R besteht, ist R ein R-modul bezüglich M, oder wie schreibt man das genau?

Das ist notwendig, aber reicht noch nicht. Die Menge der Skalare muss ein Ring sein (z.B. eben die ganzen Zahlen). Mal konkret: Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring. Dann ist $\begin{eqnarray*} (R,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Modul, wenn gewisse Eigenschaften gelten. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} + \colon M \times M \to M \end{eqnarray*}$ die innere Addition, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu einer abelschen Gruppe macht und $\begin{eqnarray*} \cdot \colon R \times M \to M \end{eqnarray*}$ die "äußere Multiplikation" von Elementen des Moduls mit Ringelementen. Ein daraus entstehendes Produkt muss wieder in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen, wie Du schon richtig erkannt hast.

22.04.2011, 15:39

Acacia

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tausend dank 42 smile

ich glaube ich habe es jetzt langsam verstanden.

Mal konkret: Sei $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ ein Ring. Dann ist $\begin{eqnarray*} (R,+,\cdot) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ -Modul, wenn gewisse Eigenschaften gelten. Hierbei ist $\begin{eqnarray*} + \colon M \times M \to M \end{eqnarray*}$ die innere Addition, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ zu einer abelschen Gruppe macht und $\begin{eqnarray*} \cdot \colon R \times M \to M \end{eqnarray*}$ die "äußere Multiplikation" von Elementen des Moduls mit Ringelementen. Ein daraus entstehendes Produkt muss wieder in $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ liegen, wie Du schon richtig erkannt hast.

um auf nummer sicher zu gehen:
in meinem beispiel wäre R die menge aller ganzen Zahlen und M wäre mein R²
oder?

lg

22.04.2011, 16:07

zweiundvierzig

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Ganz genau. smile

Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ ist ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Modul und, da $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ein Körper ist, sogar ein $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraum.

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