Satz von Vieta

22.04.2011, 13:44

Emmchen

Satz von Vieta

Meine Frage:
Ich bin jetzt in der achten Klasse und soll eine Gfs über den Satz von Vieta halten... Mein Problem: was sollen p und q? das ist ja nicht die p-q-formel sondern einfach nur die buchstaben in verbindung mit zwei formeln in die p und q aus einer reinquadratischen Gleichung kommen sollen..und was kann man mit diesem satz machen? was für lösungsmöglichkeiten ha ich? und vor allem: wie weit soll ich in der achten Klasse in dieses Thema gehen? Könnt ihr mir des vllt. erklärn? danke schonmal

Meine Ideen:
kann man p und q vllt. auch ti x1 und x2 ersetzen? sind sie einfach nur parameter? stimmt es dass man mit dem satz von Vieta 1. die beiden zahlen finden kann damit null rauskommt 2. die zweite zahl rausfinden kann, wenn man die erste hat? 3. kann man nicht auch irgendwie die Gleichung formen wenn man beide zahlen hat?

22.04.2011, 13:52

Cheftheoretiker

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RE: Saz von Vieta
Hi,

eine quadratische Gleichung der Form,
$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=0 \end{eqnarray*}$ lässt sich mit dem Satz von Vieta lösen.

Vieta hat einen Zusammenhang zwischen der Lösungsmenge und dem p und q gefunden.

22.04.2011, 14:12

tigerbine

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Es hilft hier auch, von der anderen Seite zu denken. Wenn es Nullstellen gibt, dann gilt ja

$\begin{eqnarray*} x^2+px+q=(x-x_1)(x-x_2) \end{eqnarray*}$

Nun würde ich die rechte Seite mal ausmultiplizieren und einen Koeffizientenvergleich machen.

22.04.2011, 14:22

PhyMaLehrer

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So kann man auch prima quadratische Gleichungen mit gewünschten Lösungen "erfinden"! smile

28.05.2011, 20:50

prof. dr.

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RE: Satz von Vieta
Also ... wenn du eine quadratische Gleichung gelöst hast, kannst du mit dem Satz von Vieta ganz leicht überprüfen, ob deine Lösung(en) richtig sind ... das ist das eigentliche Ziel dieses Satzes.

Setz deine Lösungen x1 und x2 in die beiden Gleichungen ein und wenn -p bei der einen und q bei der anderen rauskommt, hast du die Aufgabe richtig gelöst. Wenn nicht, weißt du, dass du dich irgendwo verrechnet hast.

Wenn du vor deiner(m) Lehrer(in) ein bisschen angeben willst, kannst du die beiden Gleichungen auch herleiten ... ist nämlich eigentlich ganz einfach:

Die Lösungen deiner quadratischen Gleichung sind:

$\begin{eqnarray*} x_{1} =-\frac{p}{2} + \sqrt{\frac{p^{2} }{4} -q} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} x_{2} =-\frac{p}{2} - \sqrt{\frac{p^{2} }{4} -q} \end{eqnarray*}$

Berechne jetzt mit diesen beiden Ausdrücken $\begin{eqnarray*} x_{1} +x_{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_{1} *x_{2} \end{eqnarray*}$ , vereinfache den ganzen Kram so weit wie möglich und schau, was jeweils rauskommt ...

Alles klar (?) Lehrer

28.05.2011, 21:08

Cheftheoretiker

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RE: Satz von Vieta
@prof. dr.

Die Herleitung von Vieta läuft nicht über die pq Formel ab, sondern folgendermaßen.

$\begin{eqnarray*} (x-x_1)(x-x_2)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-x*x_2-x_1*x+x_1*x_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-x_2x-x_1x+x_1x_2=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0 \end{eqnarray*}$

hangman smile